Теория игр в экономической науке и не только

Ларри Самуэльсон
профессор экономики Йельского университета


В экономической науке теория игр в 1960-1970-х годах занимала достаточно обособленную нишу. Ею интересовались люди, известные как специалисты по теории игр, которые работали практически исключительно в этой области, другие же экономисты имели о ней слабое представление. Преподавалась она не систематически, а в рамках специализированных курсов. Тем не менее теорию игр окружала атмосфера повышенного интереса, с ней связывались большие ожидания, особенно в 1980 — начале 1990-х годов.

Сегодня теория игр стала стандартным инструментом экономической науки. Вклад в теорию игр вносят экономисты разной специализации и интересов, ученые часто совмещают исследования в теории игр с работой в других областях. Аспиранты изучают базовые теоретико-игровые методы в течение первого года обучения, в рамках теоретической подготовки. Ажиотаж вокруг теории игр в экономике сменился хорошим знакомством с предметом.

Теория игр в экономической науке

Агрегированное индивидуальное поведение

Социальные науки отличаются друг от друга не столько предметом исследования, сколько способом изучения этого предмета. Экономисты выделяются на фоне представителей других социальных наук своей приверженностью методологическому индивидуализму — принципу, в соответствии с которым объяснение социальных феноменов должно начинаться с изучения индивидуального поведения, а также убеждением, что в рамках этой парадигмы единая и простая модель может последовательно применяться для изучения любого вопроса. Эта модель основана на двух принципах. Первый относится к индивидуальному поведению: предполагается, что предпочтения людей непротиворечивы и устойчивы, люди делают выбор из набора доступных вариантов, наилучший в соответствии с этими предпочтениями. Второй принцип относится к агрегированию поведения индивидов для изучения более сложных феноменов. Стандартный организационный принцип в данном случае связан с концепцией конкурентного рынка, в рамках которой наличие рыночной власти рассматривалось как исключительный случай. Эти парные принципы в явном виде присутствовали в стандартных курсах теоретической подготовки студентов, включавших семестр изучения теорий оптимизации и их применения к поведению потребителей и фирм, а в следующем семестре изучали равновесие конкурентного рынка.

Когда теория конкурентных рынков достигла кульминации в работах К. Дж. Эрроу и Ж. Дебре (Arrow, Debreu, 1954; Debreu, 1959) и Л. МакКензи (McKenzie, 1954; исторический анализ см. в: Düppe, Weintraub, 2014), были заложены и основы теории игр (von Neumann, Morgenstern, 1944; Nash, 1950a; 1950b; 1951; 1953). Теория игр сохраняет знакомую модель индивидуального поведения, но предлагает альтернативный вариант объяснения того, как модели индивидуального поведения агрегируются для изучения более сложных явлений, — включая конкурентные рынки в качестве предельного случая. Теория игр впоследствии стала стандартным организующим принципом при рассмотрении взаимодействия людей и утвердилась в качестве второго столпа методологического индивидуализма. Можно проследить эту эволюцию по теоретическим курсам первого года обучения аспирантов, где общую теорию равновесия практически вытеснила теория игр.

Полезно все время иметь перед глазами какой-то пример. Начнем с самой простой модели дуополии Курно (Cournot, 1838). Фирмы 1 и 2 одновременно выбирают количество однородного товара, который они могут без издержек произвести и продать. Они продают свой выпуск по одной цене, определяемой линейной функцией рыночного спроса, которая выражает цену как функцию от совокупного количества товара, произведенного двумя фирмами. На рисунке проиллюстрировано равновесие по Нэшу1 в этой игре дуополии Курно. Точка отсчета — функция рыночного спроса, которая предположительно выводится из задачи максимизации полезности, описывающей потребителей на рынке, выступающих ценополучателями. В модели, основанной на конкуренции, аналогичным образом выводилась бы кривая предложения из задачи максимизации прибыли фирм-ценополучателей. В модели Курно вместо этого предполагается, что есть небольшое число фирм (для простоты иллюстрации — две), каждая из которых понимает свое влияние на цену и выбирает объем производства, удовлетворяющий условиям равновесия, предполагающих максимизацию прибыли в условиях функции остаточного спроса, заданного выпуском другой фирмы. Можно рассматривать конкурентный рынок как предельный случай этой модели — по мере увеличения числа фирм до сколь угодно большого.

Классическая теория игр

Теория игр подвергалась трансформации по мере ее проникновения в экономическую науку. Изначально в теории игр доминировал классический подход, ключевым компонентом которого была идея о том, что игра должна рассматриваться как буквальное описание исследуемой ситуации, а не просто ее аппроксимация. Возможно, в наиболее явной форме этот классический подход приведен в статье Э. Кольберга и Ж.-Фр. Мертенса (Kohlberg, Mertens, 1986. P. 1005):

Мы придерживаемся классического взгляда, в соответствии с которым исследуемая игра в полной мере описывает реальную ситуацию — любые (предварительные) обязательства, любые повторяемые аспекты, любая вероятность ошибки и любая возможность совместного наблюдения некоторого случайного события уже учтены в дереве игры... В принципе, когда эти ограничения не выполняются, дерево игры просто используется как сокращенное обозначение для правил гораздо более «расширенной игры»... и анализировать необходимо устойчивость равновесия именно в расширенной игре.

Классический подход фактически делает теорию игр самодостаточной. Нет необходимости беспокоиться о том, могут ли игроки общаться, заключать соглашения, вступать в сговор, посылать сигналы друг другу, принимать на себя обязательства и т. д. Если бы что-то из этого было возможно, оно было бы уже учтено в дереве игры.

Например, в модели несовершенной конкуренции Курно фирмы выбирали объем производства, а затем продавали этот выпуск по общей цене, определяемой совокупным выпуском на рынке, как показано на рисунке. В 1883 г. (эта дата, по-видимому, отражает более медленный темп академической жизни того времени) Ж. Л. Фр. Бертран написал рецензию на работу Курно (1838 г.), где утверждал, что фирмы в модели должны выбирать цены, а не выпуск2. Когда фирмы устанавливают разные цены, все потребители предпочитают покупать продукцию фирмы по наименьшей цене. При этом выводы из моделей кардинально различаются. На рынке, показанном на рисунке, фирмы Курно выбирают объемы выпуска, которые приводят к рыночной цене, превышающей предельные издержки и ведущей к положительной прибыли, а беспощадная ценовая война заставляет фирмы в модели Бертрана устанавливать цену на уровне предельных издержек и получать нулевую прибыль. Как выбрать одну из двух моделей? В рамках классического подхода ответ концептуально очевиден: нужно проверить, что фирмы делают в реальности. Если они выбирают объем производства, следует использовать модель Курно. Если они устанавливают цены, нужно использовать модель Бертрана. Если они выбирают некоторую комбинацию из двух или делают что-то еще, тогда нам нужна другая модель (см., например: Kreps, Scheinkman, 1983).

Когда выбрана подходящая игра, внимание обычно переключается на равновесное поведение. В рамках классического подхода к теории игр необходимо, чтобы можно было вывести равновесное поведение из спецификации игры и гипотезы о том, что о рациональности всех игроков всем известно. Аналитик, наблюдающий игру, должен быть в состоянии прийти к такому результату, как и агенты в игре. Это сразу дает ответ на вопрос: почему нам интересно равновесие в игре? В классическом подходе следствия из равновесия будут очевидны рациональным игрокам и так же очевидно будут отражаться на их поведении.

Иллюстрация равновесия по Нэшу в дуополии Курно

В дуополии Курно (см. рис.) равновесие по Нэшу выводится тривиальным образом, как и тот факт, что оно в игре одно. В целом у игр бывает множество равновесий. Предположим, что две фирмы на рисунке теперь играют не один раз, а постоянно. Равновесие для фирм будет действовать в каждом раунде игры, как и в однопериодной игре. Однако, как показал Дж. Фридман (Friedman, 1971), если фирмы достаточно терпеливы, то равновесием для них будет установить монопольные цены и в каждом периоде делить монопольную прибыль, а в результате любого отклонения от этого сговора они будут выбирать поведение, описанное выше. Более того, «народная теорема» (Fudenberg, Maskin, 1986) показывает, что если игроки достаточно терпеливы, то практически любой исход может быть равновесием.

Множественность равновесий характеризует не только многопериодные игры. Если бы фирмы на рисунке сталкивались с нелинейной функцией спроса или нетривиальными функциями издержек, то могло бы возникнуть множество равновесий. Наличие неопределенности — как в моделях сигнализирования — известный источник множественных равновесий. В целом, множественность равновесий возникает во многих случаях и по многим причинам. Как определить следствия из равновесия в игре, если равновесий много?

Уточнения понятий равновесия

Во многих работах уточнялось понятие равновесия (Damme, 1991; 1992), их авторы стремились сформулировать «уточняющие» критерии, которые позволяли бы выделить подмножество из множества всех равновесий по Нэшу. Например, можно ограничиться рассмотрением равновесий по Нэшу, не включающих слабо доминируемые стратегии3. На протяжении большей части 1980-х годов работа по уточнению понятия равновесия была в центре как теории игр, так и экономической науки вообще. Священным Граалем этой миссии стало понятие равновесия, которое экономисты и специалисты по теории игр могли принять как то самое понятие равновесия, порождавшее уникальную спецификацию в любой игре, к которой оно могло применяться. Возможно, кульминацией программы уточнения понятия равновесия стала теория выбора равновесия Дж. Харшаньи и Р. Зельтена (Harsanyi, Selten, 1988), которая приводила к единственному результату, но теперь наиболее часто упоминается как теория, в которой было впервые представлено разграничение между доминированием по риску и доминированием по выигрышу4.

Нельзя сказать, что проект уточнения понятия равновесия оказался полностью успешным. Вместо того чтобы предложить уточнение, которое могло бы привести к консенсусу, возник постоянно расширяющийся «зверинец» этих уточнений. Новые уточнения провоцировали появление примеров, показывающих их слабые стороны, которые порождали уточнения, становившиеся исходным материалом для очередного раунда. Из-за этого, казалось бы, бесконечного цикла К. Бинмор (Binmore, 1992. Р. 1) сравнил поиск уточнений с попытками Геркулеса покончить с Гидрой — когда вместо каждой отрубленной головы отрастали две новые. Многие исследователи в теории игр занимались изобретением новых вариантов равновесия по Нэшу, но было сложно показать, что хотя бы само равновесие по Нэшу — даже не его уточнения — можно вывести из спецификации игры и предположений о рациональности игроков.

Первые попытки предприняли Д.Б. Бернхайм (Bernheim, 1984) и Д. Г. Пирс (Реагсе, 1984): общее знание о рациональности позволяло сделать вывод о том, что игроки ограничатся рационализируемыми стратегиями. В некоторых играх этого достаточно. Чтобы определить рационализируемые стратегии в дуополии Курно (см. рис.), сначала нужно отметить, что ни для одной фирмы не может быть оптимальным выпуск, превышающий монопольный, какими бы ни были ее предположения относительно действий других. Тогда можно исключить все объемы производства больше монопольного выпуска как нерационализируемые, установив таким образом верхнюю границу множества рационализируемых стратегий. Далее, если фирма уверена, что оппонент не будет производить больше монопольного выпуска, то она никогда не захочет производить меньше, чем оптимальный уровень выпуска, полученный из функции остаточного спроса для случая, когда вторая фирма выбирает точно монопольный уровень выпуска. Таким образом, можно исключить более низкие объемы производства и установить нижнюю границу множества рационализируемых стратегий. Но теперь, зная, что ни одна фирма никогда не будет производить меньше этой нижней границы, можно сделать вывод, что производство полного монопольного выпуска также не будет оптимальным ни для одной из них, что устанавливает верхнюю границу рационализируемых стратегий. Это не сразу очевидно, но можно легко показать, что в случае дуополии Курно на рисунке этот процесс продолжается, пока не останется всего одна рационализируемая стратегия — объем выпуска, равновесный по Нэшу. В данном случае общее знание о рациональности порождает равновесие по Нэшу.

К сожалению, во многих других случаях это не так. Рассмотрим игру в орлянку. В одной из версий этой стратегической задачи Шерлок Холмс и Джеймс Мориарти (в сцене из рассказа «Последнее дело Холмса» А. Конан Дойла) находятся в двух различных поездах, которые идут из Лондона, и у каждого есть выбор: выйти в Кентербери или Дувре. Мориарти выигрывает (Холмс проигрывает, выигрыши равны 1 для Мориарти и -1 для Холмса), если они выбирают одну остановку, какой бы она ни была; Холмс выигрывает (Мориарти проигрывает), если они выберут разные вокзалы. В этой игре есть единственное равновесие по Нэшу, в котором каждый игрок выбирает каждую стратегию с вероятностью 1/2, возможно, полученной подбрасыванием монетки, где выбор Кентербери соответствует выпадению орла, а Дувра — решки. В отличие от этого единственного равновесия по Нэшу любая стратегия в этой игре рационализируема. В частности, любой вариант, доступный Холмсу, включая варианты «выйти в Кентербери», «выйти в Дувре» и любой случайный выбор между двумя, — это наилучший ответ на некоторое действие Мориарти (и наоборот). В этом случае рационализируемость стратегий не позволяет исключить ни одну из них. Этот пример не единственный — от рационализируемости часто мало толку.

Попытки уточнить понятие равновесия столкнулись со сложностями. Аргументы, основанные на формальном изучении общего знания о рациональности, приводили к утверждению, что иногда даже понятие равновесия по Нэшу чересчур ограничительно, а те, кто искал возможности его уточнить, считали равновесие по Нэшу недостаточно строгим.

Инструментальный подход в теории игр

В результате классический подход к теории игр уступил место инструментальному. В рамках него игра — это не буквальное описание взаимодействия, а модель, которая, как надеется исследователь, может быть полезна для изучения этого взаимодействия. Как писал Р. Ауманн (Aumann, 2000. Р. 38), «теоретико-игровые концепции решений нужно понимать в терминах их приложений и оценивать по количеству и качеству этих приложений». Игра — это сознательная аппроксимация, построенная так, чтобы учесть важные аспекты взаимодействия и исключить неважные. В рамках такого подхода, например, выбор между моделями Курно и Бертрана зависит не от того, что, по мнению исследователя, фирмы делают в действительности (хотя общение с руководителями фирм может стать хорошим источником идей или вдохновения), а от того, какая модель порождает наиболее полезные идеи. Если мы предполагаем, что конкуренция даже между двумя фирмами достаточна, чтобы привести цены к уровню предельных издержек, то модель Бертрана может быть подходящей. Если мы полагаем, что выход новой фирмы на рынок снизит прибыль уже работающих на нем фирм, то подходит модель Курно. При применении инструментального подхода большая реалистичность модели не всегда делает эту модель лучше. Очевидно, что и усложнение модели не обязательно приводит к ее улучшению. В конце концов, Льюис Кэрролл (Carroll, 1893. Р. 169) замечательно проиллюстрировал с помощью карты в масштабе один к одному, что модель, столь же сложная, как и ее предполагаемое приложение, обычно бесполезна. Важнее, что даже без дополнительного усложнения реалистичность необязательно будет для модели шагом вперед. Например, модели бесконечно повторяемых игр часто критикуют за то, что «никто не живет вечно». Более реалистичные модели включали бы конечный временной горизонт5.

Тем не менее важные соображения при оценке временного горизонта относятся к человеческому поведению, а не к таблицам смертности (обсуждение см. у М. Дж. Осборна и А. Рубинштейна — Osborne, Rubinstein, 1994. P. 135).

Влияют ли предположения людей о конце игры на их поведение в начальных периодах повторяемого взаимодействия? Например, предположим, что антимонопольное дело держалось бы на утверждении, что две фирмы в повторяемой версии рынка, изображенного на рисунке, вступили в сговор, в рамках которого постоянно совместно производили количество товара на уровне выпуска монополии, а поддерживалось бы это поведение осознанием того факта, что любое отклонение привело бы к необратимому переключению на менее прибыльное равновесие по Нэшу из однопериодной игры. Это поведение — равновесие в бесконечно повторяемом взаимодействии двух фирм (когда они достаточно терпеливы), но не во взаимодействии, которое повторяется конечное число раз. В последнем случае монополистическое равновесие «разваливается» под воздействием убедительности метода обратной индукции. В частности, совместное производство монопольного уровня выпуска в последнем периоде не будет равновесием, но единственное равновесие — поведение в равновесии по Нэшу, заданном на рисунке. Как только мы зафиксировали этот вывод для финального периода, равновесие по Нэшу на рисунке оказывается равновесным исходом и для предпоследнего (так как нет вариации в продолжительности игры, которая могла бы заставить игроков выбрать другие действия), а по аналогии — и во всех остальных периодах. Предположим, что команда защиты в этом антимонопольном процессе утверждала бы, что жизнь на нашей планете, безусловно, конечна (так как Солнце через несколько миллиардов лет погаснет), то есть игра повторяется конечное число раз, а значит, сговор никак не мог стать частью равновесия. Убедил бы кого-нибудь подобный аргумент? Согласились бы мы с аргументом, что бумажные деньги не имеют ценности, и отказались бы, как следствие, использовать их? Если так, то игры с бесконечным временным горизонтом здесь не имеют смысла. Значимым критерием следует считать не реалистичность модели, а ее способность помочь нам понять исследуемое поведение.

Инструментальный подход усложняет теорию игр. Мир буквальных описаний и совершенно рациональных игроков традиционно более упорядочен, чем аппроксимации сложного мира, населенного людьми. Рассмотрим версию дилеммы заключенного — игры, которая изучалась больше всех остальных, — сформулированную Дж. Андреони и X. Вэрианом (Andreoni, Varian, 1999) в виде игры «тяни-толкай».

У Элис есть яблоко, которое для нее имеет ценность 1, а для Боба 3. У Боба есть банан, ценность которого для него равна 1, а для Элис 3. Элис и Боб одновременно решают, оставить себе свой товар («тянуть», или предать) или отдать его второму игроку («толкать», или кооперироваться). Строго доминирующая стратегия для Элис — сохранить свое яблоко: она остается в плюсе независимо от действий Боба. Это верно и для Боба, и отказ от сделки — единственное (по Нэшу, да и в строго доминирующих стратегиях) равновесие в дилемме заключенного.

Откажутся ли люди от сделки в дилемме заключенного? В рамках классического подхода — да: это не только очевидно, но и вообще тавтология (как объясняется в: Binmore, 1994, глава 3). Согласно такой интерпретации, числа в матрице выигрышей — это значения полезности, полученные при анализе поведения с точки зрения выявленных предпочтений. Тот факт, что большие значения соответствуют предательству, а не кооперации, показывает, что игрок «получает большую полезность от предательства», что, с точки зрения теории выявленных предпочтений, эквивалентно предательству. Вопрос о том, способен ли агент к кооперации, эквивалентен вопросу о том, не сформулировали ли мы игру неправильно. Если игра правильная, то никакой другой исход, кроме предательства, невозможен.

Все несколько сложнее в рамках инструментального подхода. Во-первых, действия «кооперировать» и «предавать» — это версии реальных вариантов, которые на деле могут быть гораздо более сложными. Кооперация может включать вступление в сговор на олигопольном рынке или заключение соглашения о ядерном оружии, а предательство может означать «наводнение» рынка дополнительным выпуском или установку антибаллистической системы. Кроме того, как правило, мы не можем измерить полезность, и числа в матрице — это оценки прибыли или какого-то другого — легче измеряемого — показателя. Будут ли игроки предавать? Или, что то же самое, имеет ли смысл брать в качестве модели взаимодействия дилемму заключенного? Ответ на этот вопрос может оказаться непростым.

Эволюционная теория игр

Как мы рассматриваем равновесие при инструментальном подходе? Мы возвращаем теорию игр в рамки устоявшихся традиций экономической теории. Экономические модели индивидуального поведения (первый из двух столпов методологического индивидуализма) основаны на максимизации. Когда во вводных курсах по экономике вводится максимизация полезности или прибыли, каждый неизбежно сталкивается с вопросом о том, правда ли люди и фирмы максимизируют, — часто вопрос сопровождается примерами из опыта, включающими поиск удовлетворительного варианта поведения (satisficing), ценообразование по принципу «издержки плюс» и другие виды поведения, которые, казалось бы, не имеют отношения к максимизации. Стандартный ответ (например, см. в: Alchian, 1950): люди или фирмы, вероятно, не решают задачу максимизации в буквальном смысле, а скорее делают выбор с учетом опыта, иногда экспериментируя и совершая ошибки, но все время отмечая, при каких вариантах результаты лучше. Возникающий адаптивный процесс приводит их (хотя бы приблизительно) к вариантам, которые можно считать решением их задачи максимизации. Первые экономические модели, описывавшие второй важнейший принцип — и конкурентные рынки, апеллировали к (иногда неявному) процессу адаптации рынка. Л. Вальрас (Walras, 1874) не только ввел понятие конкурентного равновесия, но и описал процесс «нащупывания», который, в его представлении, приводил к такому равновесию.

В эволюционной теории игр применяется аналогичная логика (см.: Fudenberg, Levine, 1998; Samuelson, 1997; Sandholm, 2010; Vega-Redondo, 1996; Weibull, 1995; Young, 1998). Идея не в том, что игроки выводят равновесные действия из структуры игры или что равновесие возникает одновременно с игрой. Вместо этого мы считаем, что люди в игре набираются опыта. Они выбирают варианты, оценивают результаты, возможно, экспериментируют с другими вариантами и иногда ошибаются, все вместе это составляет процесс проб и ошибок, который (как можно надеяться) смещает их в сторону равновесия. С использованием формулировок, напоминающих о других областях экономики, рациональные расчеты классического подхода заменяются предельными исходами адаптивного процесса. Такой взгляд приближает методы теории игр к методам не только традиционной экономической науки, но и физики. В последней традиционно задается динамический процесс, а равновесия затем рассматриваются как его стационарные точки. В классической теории игр равновесия возникают отдельно от динамического процесса. Эволюционная теория игр возвращает динамический процесс в зону внимания. Интересно, что Курно (1838) мотивировал равновесие в своей дуополии, изображенное на рисунке, как предельный исход процесса подстройки на основе наилучших ответов.

Эволюционная теория игр изначально вызывала заметный интерес и, как и уточнения понятия равновесия, в какой-то момент (примерно в 1990-е годы) оказалась в центре теории игр, а может, и экономической теории в более широком смысле6. В последнее время она отошла на задний план, что во многом отражает ее успех. В рамках этого подхода ставились два базовых вопроса: можем ли мы ожидать, что динамические процессы, формирующие поведение в играх, приведут к равновесиям по Нэшу и/или к их уточнениям?

Вообще говоря, ответом на первый вопрос будет утверждение: «Устойчивые исходы в эволюционных моделях являются равновесиями по Нэшу». Необходимо больше деталей, чтобы уточнить это утверждение, но в ряде случаев оно не выполняется (особенно яркий пример см. в: Hofbauer, Sandholm, 2011, и пример, относящийся к дуополистам на рисунке, в: Vega-Redondo, 1996). Точные версии этого результата появлялись во многих моделях (Samuelson, 2002). Как следствие, экономисты, работающие с теоретико-игровыми моделями, могут сосредоточиться на равновесиях по Нэшу, будучи уверены, что в подходящих условиях для этого допущения есть основания.

Ответ на второй вопрос отрицательный: эволюционные модели не сводятся систематически к стандартным уточнениям равновесия по Нэшу и тем более не дают общепринятого ответа на вопрос, какое уточнение могло бы стать полезным. Для уточнения понятия равновесия нужно предположить, что игроки не будут выбирать слабо доминируемые стратегии. Например, в играх с двумя игроками уточнение равновесия по Нэшу за счет утверждения, что игроки избегают слабо доминируемых стратегий, приводит к концепции совершенного равновесия, одного из первых и самых важных уточнений понятия равновесия. В других постановках соотношение между слабым доминированием и уточнениями равновесия более тонкое, но идея слабого доминирования все еще влиятельна в литературе об уточнениях равновесия. Однако эволюционная динамика не всегда устраняет слабо доминируемые стратегии — пример см. в: Samuelson, 1993.

На фоне плодотворности этих идей эволюционная теория игр перестала быть в центре внимания, но сама теория игр остается неотъемлемой частью экономической науки.

Современные проблемы теории игр

Выбор равновесия

В играх часто присутствуют множественные равновесия, даже если речь идет о самых простых играх с двумя игроками и всего двумя действиями, доступными каждому из них. Например, в некоторых странах движение правостороннее, а в некоторых — левостороннее. Очевидный способ моделировать это поведение — координационная игра. Естественно рассматривать выигрыши, которые делают наилучшим ответом для любого отдельно взятого игрока стратегию ехать с правой стороны дороги, если так делают все остальные, и, аналогично, ехать слева, если остальные едут слева, что порождает два равновесия (плюс смешанное равновесие, в котором каждый водитель выбирает стратегию «ехать по левой стороне» с вероятностью 1/2 и стратегию «ехать по правой стороне» с вероятностью 1/2 , хотя, видимо, с точки зрения описания поведения водителей от этого равновесия мало толку).

В этом случае нет ничего исключительного: многие игры порождают множество равновесий. Э. МакЛеннан (McLennan, 2005) показывает, что стандартные игры в нормальной форме могут иметь огромное число равновесий, а Дж. О. Лэдьярд (Ledyard, 1986) демонстрирует, что любое недоминируемое поведение можно рационализировать как равновесное в координационной игре. Нет необходимости обобщать дуополию Курно и выходить за пределы линейных функций спроса и издержек, представленных на рисунке, чтобы получить множественность равновесий. Она очевидным образом возникает в много-периодных играх, например в многопериодной версии дуополии Курно, где, как было отмечено ранее, серия «народных теорем» показывает, что если игроки в такой игре достаточно терпеливы, то почти любой исход может стать равновесным (Fudenberg, Maskin, 1986; Mailath, Samuelson, 2006)7. В данном случае теория, которая предсказывает любые события, не обладает вообще никакой предсказательной силой. В том же духе иногда высказываются опасения, что множественность равновесий делает бесполезными многопериодные игры — если не вообще всю теорию игр.

Не только в теории игр, но и в других экономических моделях возникают множественные равновесия, что выражается в понятиях «ловушка ликвидности» или «ловушка бедности», а также в объяснениях Великой депрессии через «плохое» равновесие в игре с несколькими равновесиями (Cooper, John, 1988). Что еще удивительнее, теорема Дебре—Мантеля—Зонненшайна дает результат, аналогичный народной теореме для многопериодных игр: любая непрерывная функция, удовлетворяющая условию линейной однородности, закону Вальраса и граничным условиям (спрос на товар растет взрывными темпами при приближении цены к нулю), есть функция избыточного спроса в некоторой экономике (Debreu, 1974; Mantel, 1974; Sonnenschein, 1973). Однако с появлением этой теоремы не прозвучали призывы отказаться от теории конкурентного равновесия, отчасти потому, что в моделях общего равновесия можно найти эмпирическое содержание (например, см.: Brown, Kübler, 2008; Brown, Matzkin, 1996; Chiappori et al., 2004), отчасти же потому, что с теоремами благосостояния связаны полезные идеи, несмотря на возможность множественных равновесий. Множественность равновесий создает больше проблем в случае теории игр, или, по крайней мере, для многопериодных игр, чем в случае конкурентного равновесия. Часто множественные равновесные исходы в общем равновесии можно сгенерировать, например варьируя технологии или предпочтения в модели. Многопериодная игра легче порождает множественные равновесия, несмотря на постоянство технологии и предпочтений. Но это сравнение скрадывает другие различия, имеющие противоположный смысл. В моделях конкурентного равновесия предполагается, что агенты воспринимают себя пренебрежимо малыми по отношению к рынку. В повторяющихся играх нет эквивалента этой условности, и неудивительно, что можно построить больше равновесий с большим числом степеней свободы.

Равновесия — не единственные элементы, которых в теории игр слишком много. Теория игр медленно вошла в экономическую науку после того, как ее основы были заложены в работах фон Неймана и Моргенштерна (Neumann, Morgenstern, 1944) и Нэша (Nash, 1950а; 1950b; 1951; 1953), а стала активно использоваться в экономической науке в 1980-е годы. Начало было положено статьями А. Рубинштейна (Rubinstein, 1982), Д.М. Крепса и Р. Уилсона (Kreps, Wilson, 1982а; 1982b) и П. Милгрома и Дж. Робертса (Milgrom, Roberts, 1982а; 1982b), в которых были показаны возможности (в основном некооперативных) игр и которые послужили катализатором для развития дальнейших исследований.

Естественной областью применения этих работ оказалась теория промышленной организации, где в результате произошла «стратегическая революция». Область науки, которая была преимущественно эмпирической, направленной на поиск связи между эмпирическими показателями концентрации и иными структурными характеристиками отрасли, с одной стороны, и прибылью и другими показателями деятельности — с другой, активно стала превращаться в теоретическую. Чтобы увидеть это изменение, достаточно сравнить лекции на Всемирном конгрессе Эконометрического общества по промышленной организации, представленные Л. У. Вайссом в 1969 г. (Weiss, 1971), Р. Шмалензи в 1980 г. (Schmalensee, 1982) и Дж. Робертсом в 1985 г. (Roberts, 1987). Стратегические модели стали использоваться для объяснения ценовой дискриминации, рекламы, сдерживания входа, сдерживающего ценообразования и других явлений. Сложность заключалась в том, что вскоре сложилось впечатление, будто достаточно серьезно настроенный ученый может построить модель, объясняющую любое поведение, сколь бы оно ни противоречило интуиции. Здесь возникала другая версия народной теоремы, относившаяся не к конкретной модели, например повторяемой игре, а к моделированию в целом. Общее представление таково, что удачный инструмент должен не только включать, но и исключать определенные виды поведения, и в результате стратегическая революция в промышленной организации закончилась.

Как мы продвинемся при отборе равновесий в играх? Один из ответов — сосредоточиться на результатах, которые зависят только от предположения, что некоторое равновесие выбирается без уточнения, какое именно. Например, одна из причин, по которым экономистам удобно работать со множественными равновесиями в конкурентной экономике, сводится к тому, что первая теорема благосостояния применяется ко всем равновесиям. Это позволяет установить базовые результаты в анализе благосостояния, не зависящие от того, какое равновесие из возможных реализовалось в каждом конкретном случае. На этом этапе в теории игр не созданы функциональные эквиваленты теорем благосостояния.

Вторая возможность — указать путь к равновесию эмпирическими методами. Акцент на стратегических моделях в промышленной организации способствовал популярности структурных эмпирических моделей, что можно увидеть в лекциях по теории промышленной организации на Всемирном конгрессе Эконометрического общества, которые читали П. Бажари, X. Хонг и Д. Некипелов (Bajari et al., 2013) и В. Агиррегабириа и А. Нево (Aguirregabiria, Nevo, 2013). Статьи в этой области часто включают модели, которые допускают множество равновесий и в которых вводится предположение, что наблюдаемое поведение отражает некоторое равновесие и что это равновесие последовательно выражается в данных. Такого обычно достаточно, чтобы продолжить работу и прийти к результатам, помогающим понять не только структуру игры, но и поведение, которого в результате следует ожидать.

Наконец, еще одна возможность — заметить, что в некоторых случаях модели со множественными равновесиями могут оказаться наилучшим приближением исследуемого взаимодействия и что мы должны принять множественность равновесий, а не пытаться избавиться от нее. В сцене банковской паники в фильме 1946 г. «Эта замечательная жизнь» Джордж Бэйли (его играет Джеймс Стюарт) произносит пламенную речь, которую специалист по теории игр мог бы перефразировать так: «В этой игре есть два равновесия: одно, в котором банк грабят, и другое, в котором этого не происходит, и нам стоит постараться достичь второго». Д. У. Даймонд и Ф. Дыбвиг (Diamond, Dybvig, 1983) отражают эту мысль в модели, предполагая наличие множественных равновесий. В дальнейшем их идеи были развиты в других работах.

Во многих приложениях теории игр результаты основаны на выборе конкретных равновесий для дальнейшего изучения. Прогресс в работе со множественными равновесиями потребует принять всерьез инструментальный, а не классический подход к теории игр. В рамках инструментального подхода выбор концепции равновесия, как и выбор между множественными равновесиями, удовлетворяющими этой концепции, — это часть конструкции модели, и он должен быть мотивирован деталями, связанными с приложением. Если кто-то моделирует взаимодействие двух агентов, у которых небольшой опыт общения друг с другом и которые мало знают друг о друге (например, президент США и ближневосточный диктатор, подозреваемый в сокрытии оружия массового поражения), разумно задать вопрос: рациональны ли участники, не говоря уже о том, является ли их рациональность общим знанием. С другой стороны, нам не сложно применить равновесие по Нэшу, и даже определенное равновесие по Нэшу, в случаях, когда участники взаимодействия обладают достаточным историческим и культурным опытом в этой игре. Мы принимаем как данность, что люди в Великобритании будут ездить по левой стороне дороги, а в США — по правой8. Обратная индукция — достаточно надежное ожидание, когда в игре участвуют шахматные гроссмейстеры, но это в меньшей степени верно, если играют обычные студенты (Palacios-Huerta, Volij, 2009).

Предположим, что два дуополиста на рисунке рассматривают возможность войти на рынок, производство на котором связано с затратами. Если не входить на рынок, то каждая фирма получает выигрыш, равный нулю. Функция рыночного спроса такова, что если фирма входит на рынок одна (неважно, какая именно), она получает монопольную прибыль. Однако если входят две фирмы, то обе теряют 1. Эта «игра входа» характеризуется тремя равновесиями по Нэшу. Два из них — асимметричные, но чистые равновесия, в которых одна фирма на рынок входит, а другая — нет. Третье — симметричное смешанное равновесие, в котором обе фирмы входят с вероятностью У2. Если в игре участвуют совершенно незнакомые между собой фирмы, то без контекстуальных подсказок и без асимметрии среды или представления игры, например в лаборатории, у нас не будет причин ожидать какого-то из чистых равновесий. Если игра должна напоминать равновесие, то это равновесие должно быть смешанным. Однако когда мы изучаем решение о входе со стороны двух фирм, гораздо разумнее ожидать, что реализуется чистое равновесие. В последнем случае реальный вход на рынок — это сложный и динамический процесс, и некоторые исходные детали — одна фирма «пришла туда первой», или имеет синергию издержек в результате лучшей дистрибуции, или еще что-то подобное — позволят фирмам координировать действия в рамках чего-то, что напоминает чистое равновесие в статической модели. Какое из чистых равновесий? Как и разделение между чистыми и смешанными равновесиями, это зависит от деталей, которые упущены в игре, но должны быть включены в модель за счет выбора равновесия с учетом изучения исследователем институциональных характеристик.

Эти институциональные черты обычно включают элементы истории, которые опущены в описании игры. Модель игры не включает упоминания о том, первый ли раз игроки участвуют в игре и есть ли у них личная или культурная история, связанная с этой игрой. Стратегии в математическом представлении игры обычно обозначаются нейтрально. На практике эти стратегии соответствуют действиям, которые интерпретируются в рамках частного и культурного контекста игры. Как наглядно демонстрирует Т. Шеллинг (Schelling, 1960), этот контекст может иметь почти магический эффект, когда речь идет о различии между разными равновесиями в игре9. В классической теории игр спецификация модели считается очевидной, а исследователей интересует, что делать, если модель уже есть. В рамках инструментальной теории игр спецификация модели оказывается в центре внимания. Эта спецификация требует понимания приложений, постановки задачи, истории игры, и все они должны мотивировать спецификацию не только игры, но и и выбора концепции равновесия и самого равновесия.

Потребуются значительные усилия, чтобы определить, какие концепции равновесия следует использовать и каким из потенциально многих равновесий, соответствующих этой концепции, следует уделить внимание. Дж. М. Кейнс отмечал (в письме Р. Харроду, написанном в 1938 г., см.: Besomi, 2003), что экономика — это наука мыслить в терминах моделей, объединенная с искусством выбирать модели, адекватные современному миру. В аспирантских курсах по экономике обычно сосредоточиваются на работе с моделями. Прогресс в выборе равновесий произойдет на фоне внимательной работы над искусством выбирать модели. Это совместный выбор, включающий как игру, так и соответствующее равновесие, и, как правило, он зависит от постановки задачи, к которой необходимо применить анализ.

Приложения

В одних приложениях теория игр применяется гораздо успешнее, чем в других. Два очевидных успеха теории игр — это аукционы (см., например: Klemperer, 2004; Krishna, 2002; Milgrom, 2004) и теория поиска и подбора (matching) (например, Roth, 2008а; 2008b; 2015). Исследования в этих областях не только породили богатый набор новых теоретических результатов, но и изменили способы размещения ресурсов на многих рынках. Ресурсы, которые правительства раньше распределяли, теперь систематически разыгрываются на аукционах, что влияет на доходы государства и, что, возможно, еще важнее, на эффективное размещение ресурсов. Аукционы стали стандартным механизмом, с помощью которого фирмы назначают свои цены, в том числе на относительно новые блага, например возможности размещать рекламу онлайн, но и на такие обычные блага, как электроэнергия. Новые сотрудники сегодня распределяются между работодателями с помощью алгоритмов подбора, а студенты — по учебным заведениям. Учитывая рынок подбора доноров и реципиентов почек, можно сказать, что теория подбора спасла тысячи жизней.

Результатом стал расцвет новой области — дизайна рынков, которую можно было бы описать как приложение теоретико-игровых моделей и идей к решению практических задач, связанных с размещением ресурсов. Экономисты любят испытания в рыночных условиях, и теория игр определенно прошла проверку рынком на свою полезность. Дизайн рынков и консультирование их участников теперь составляют важную нишу, в которой востребованы специалисты по теории игр.

Другие приложения теории игр оказались не так успешны в рыночных условиях, и самый яркий пример, пожалуй, теория торга (theory of bargaining). Ф. Эджуорт (Edgeworth, 1881. P. 20-30) определил проблему торга как базовую точку отсчета для изучения экономической науки. Тем не менее долгое время после этого считалось, что исход торга будет эффективным, но экономическое рассуждение не позволяет определить, какой из (как правило, многих) эффективных исходов реализуется. В теории игр давно обратили внимание на задачу торга, ей были посвящены две из четырех ранних статей Нэша (Nash, 1950b; 1953). Анализ торга, который провел Рубинштейн (Rubinstein, 1982), способствовал распространению экономических приложений теории игр. За этим последовала новая волна исследований торга (краткий обзор см. в: Muthoo, 1999). Тем не менее в этой области теория игр не достигла таких успехов, как в сфере аукционов или теории подбора. Нелегко отыскать примеры пересмотра методов переговоров под влиянием теории игр. Специалисты систематически используют теоретико-игровые модели в случаях, когда у них просят совета в том, что касается аукционов и процессов подбора, но с меньшей вероятностью обращаются к этим моделям, когда речь идет о переговорах.

Стандартная проблема в теоретико-игровых моделях торга заключается в том, что исходы чувствительны к мельчайшим деталям модели. Последовательность предложений и контрпредложений, спецификация информационной структуры, длина временного горизонта, длительность временного периода, а также другие детали могут повлиять на результат. Яркий пример: А. Шакед (Shaked, 1994) показывает, что важно, имеет ли одна из сторон возможность выйти из переговоров до или после того, как услышит контрпредложение другой стороны. Когда изучаешь взаимодействие профсоюза с фирмой или политических групп на Ближнем Востоке, крайне редко можно понять, следует моделировать это как игру в дискретном или непрерывном времени, игру со строго чередующимися предложениями или игру, где стороны могут вносить предложения в любое время, и т. д. Неудивительно, что, выбирая из множества моделей, которые дают разные результаты, без какого-либо руководства, позволяющего выбрать нужную, можно предпочесть просто отказаться от использования таких моделей. Впрочем, моделирование аукциона, казалось бы, также порождает бесконечное число вариантов выбора — это аукцион с общими или частными оценками, риск-нейтральны участники или избегают риска, есть ли вторичный рынок, будут ли участники вступать в сговор, симметричны ли они и т. д., опять же без четких указаний на то, каким в данном случае должен быть очевидный выбор модели. Разница, по-видимому, в убеждении, что модели аукционов подошли достаточно близко к тому, чтобы выделить ключевые характеристики аукционов, а теоретики аукционов в достаточной степени отточили свою интуицию в процессе работы с такими моделями, чтобы они стали полезным инструментом для дизайна, проведения и участия в аукционах. Представляется, что для моделей торга это не совсем так. Стандартный компромисс в модели аукциона первой цены очевиден — уровень ставки ниже оценки делает исход более прибыльным в случае победы, но снижает вероятность победы. Это оказывается эффектом первого порядка во многих аукционах. Базовая черта, которая выделяется во многих моделях торга, — терпение, когда у менее терпеливых людей слабее переговорная позиция. Менее очевидно, что терпение — стандартный эффект первого порядка в случае торга.

Как и в случае экономической теории, развитие теории игр связано в основном не с умением применять модели, а с умением их формулировать. Удивительно полезные теоретико-игровые модели возникли в некоторых областях, в других теория игр оказалась менее успешной. Можно надеяться на появление новых важных открытий в этой теории.

Кооперативная теория игр

В некооперативной теории игр предполагается, что игроки действуют независимо, и центральный вопрос — может ли игрок увеличить свой выигрыш за счет одностороннего отказа от договоренности. В кооперативной теории игр игроки могут формировать коалиции, и центральным становится вопрос о том, может ли набор игроков найти такое (обязательное для всех) распределение выигрышей, доступное коалиции, которое позволит им всем получить выгоду от ее формирования. На рисунке представлен пример некооперативного подхода к дуополии Курно, в котором предполагается, что две фирмы выбирают свой выпуск одновременно и независимо. Согласно кооперативному подходу, обе фирмы могут улучшить свой результат, сформировав коалицию и разделив полученную монопольную прибыль.

На первых этапах развития теории игр доминировала ее кооперативная версия: например, в книге фон Неймана и Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» много внимания уделялось кооперативным играм. Один из фундаментальных результатов в теории общего равновесия, теорема Дебре—Скарфа (Debreu, Scarf 1963), точная версия идеи о том, что большая экономика должна быть, по сути, экономикой ценополучателей, основана на (кооперативной) концепции ядра10. Вектор Шепли (Shapley, 1953) стал полезным инструментом изучения силы политических коалиций (Winter, 2002), а в более практическом ключе — для решения задач распределения ресурсов (Young, 1994)11. N-ядро (Schmeidler, 1969) привлекло внимание ученых, (среди прочего) неожиданно оказавшись возможностью объяснить предписание о банкротстве из Талмуда (Aumann, Maschler, 1985), решив таким образом задачу, которая тысячелетиями оставалась предметом дискуссий и разногласий12. Можно привести и много других примеров.

В последнее время кооперативная теория игр, кажется, исчезла из экономической науки. Курсы первого года обучения в аспирантуре стабильно включают базовые понятия некооперативной теории игр, но могут не содержать понятие ядра. Классические работы, благодаря которым теория игр стала стандартным инструментом экономической науки — книги Д. Фьюденберга и Ж. Тироля (Fudenberg, Tirole, 1991) и Р. Б. Майерсона (Myerson, 1991), построены в основном на обсуждении некооперативной теории игр. Как избежать потери инструментов и идей теории кооперативных игр?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вернуться к истокам. Дж. Нэш (Nash, 1953) сформулировал то, что с тех пор получило название «программа Нэша». В своей работе он представил некооперативную игру торга, исходы которой совпадали с решением для задачи торга (аксиоматически мотивированным правилом раздела излишка), которое он предложил ранее (Nash, 1950b). Работа в этом направлении позже позволила предложить некооперативные основания для ядра (Perry, Reny, 1994), вектора Шепли (Gul, 1989) и N-ядра (Shubik, Young, 1978). Идея программы Нэша заключалась в совмещении кооперативного и некооперативного подходов. Пониманию кооперативного решения способствует изучение некооперативных игр, которые ведут к такой концепции. Пониманию некооперативных игр способствует кооперативное описание их исходов. Оба направления имеют значение. Мы лучше понимаем и можем использовать с наибольшей пользой те понятия, которым можно найти и кооперативные, и некооперативные основания.

Современные работы, посвященные проблеме поиска и подбора, вернули программу Нэша в мейнстрим (Roth, Sotomayor, 1990). Базовая концепция равновесия в этих работах — устойчивое паро-сочетание. Когда, например, студенты распределяются по вузам, устойчивость предполагает, что не должно быть пар студент—вуз, которые не составляют паросочетание и обладают тем свойством, что студент предпочитает этот вуз тому, в который он распределен сейчас, а вуз предпочитает его одному из своих текущих студентов (или пустому месту). Эта кооперативная концепция равновесия тесно связана с идеей ядра, так как она основана на требовании об отсутствии блокирующих коалиций из двух игроков (коалиции большего размера вступают в действие в более сложных ситуациях подбора). Тем не менее стандартный путь к доказательству существования устойчивого распределения — формулирование некооперативного процесса, например алгоритма отложенного согласия, который приводит к устойчивым распределениям (Gale, Shapley, 1962)13. Действительно, алгоритм отложенного согласия лежит в основе процесса, используемого для реализации исходов на многих рынках с подбором, которые в последние годы пережили трансформацию под влиянием теории игр. Мы уверены в процедуре, ведь кооперативный подход подтверждает, что она приводит к исходам с привлекательными свойствами, а некооперативный анализ гарантирует, что они достигаются посредством интуитивно ясной процедуры. Программа Нэша, таким образом, обещает совместить лучшее в кооперативной и некооперативной теории. Однако необходима существенная работа, чтобы мы осознали потенциал этого подхода. В некоторых случаях потребуются новые исследования в теории кооперативных игр. Некооперативная теория игр оказалась особенно плодотворной в изучении задач с неполной информацией — в этой области кооперативная теория игр развивалась не слишком активно (последний шаг в этом направлении см. в: Liu et al., 2014). В других случаях, как показали К. Бинмор, А. Рубинштейн и А. Волинский (Binmore et al., 1986), использование некооперативной компоненты программы Нэша требует особой осторожности. Иногда такой подход не дает немедленных результатов. Например, можно рассматривать исследования устойчивости к перезаключению соглашений как попытку использовать кооперативные идеи для выбора равновесия в многопериодной игре — в частности, идею о том, что игроки не должны быть удовлетворены возобновляемым равновесием, в котором исходы доминируются по Парето альтернативным возобновляемым равновесием (и таким образом оно блокируется коалицией, состоящей из всех игроков). Приложения идеи устойчивости к перезаключению соглашений затрудняются наличием множества концепций такой устойчивости. Введение в эту тему можно посмотреть в работах Дж. Майлата и Л. Самуэльсона (Mailath, Samuelson, 2006, глава 4.6), недавно альтернативный взгляд был представлен в статье Д. А. Миллера и Дж. Уотсона (Miller, Watson, 2013).

Перспективы и направления дальнейшей работы

Теория игр за пределами экономической науки

Мы живем во времена, которые можно назвать имперским веком теории игр, когда она обретает влияние во все большем числе дисциплин. Теория игр стала стандартным инструментом в политической науке. Например, Н. МакКарти и А.Мейровитц (McCarty, Meirowitz, 2007) предлагают обзор — в объеме полноценной книги — того, как теорию игр можно использовать для изучения отношений между странами, поведения политических партий, электорального поведения, работы законодателей, лоббирования и т. д. Размышления о более ранних применениях теоретико-игровых идей к вопросам политической экономии, безусловно, заставляют экономиста вспомнить о работах Э. Остром (Ostrom, 1990) об управлении общей собственностью. Остром получила образование в области политической науки, но стала лауреатом Нобелевской премии по экономике в 2009 г. Теоретико-игровой анализ сегодня распространен в области права (см. обзоры в: Baird et al., 1994; Zaluski, 2015). Теория игр появляется и в философии, особенно в этике: Бинмор (Binmore, 1994; 1998) написал книгу «Теория игр и общественный договор», Д. Готье (Gauthier, 1986) рассматривал основания моральных норм, Б. Скирмс (Skyrms, 2004) — эволюцию социальной структуры (с хорошими примерами). Психологи, особенно экспериментальные, обратились к теории игр: Э. Колман (Colman, 1999) предлагает обзор «Теория игр и ее приложения в социальных и биологических науках». То же сделали нейробиологи (см., например: Glimcher et al., 2009). Возможно, самого большого эмпирического успеха теория игр добилась в биологии, где очевидной точкой отсчета стали работы Дж. Мейнарда Смита и Дж. Р. Прайса (Maynard Smith, Price, 1973; Maynard Smith, 1982). Более современный обзор теоретико-игровых моделей в биологии см. в: Broom, Rychtäf, 2013. Работа П. Хаммерштайна и С. Рихерта (Hammerstein, Riechert, 1988) стала удивительным примером применения теоретико-игрового анализа к двум популяциям пустынных пауков. Алгоритмическая теория игр стала очень распространена в компьютерных науках (см., например: Nisan et al., 2007). Теория игр стала стандартным инструментом в электротехнике, как показано в статье «Теория игр и обучение для беспроводных сетей» (Lasaulce, Tembine, 2011). Теория игр активно используется в исследовании операций, что выражается в преобладании теоретико-игровых исследований в журналах «Operations Research» и «Mathematics of Operations Research», а также проникла в другие дисциплины, преподаваемые в бизнес-школах, например в бухгалтерское дело и маркетинг.

Так же внушительно, как разнообразие дисциплин, которых коснулась теория игр, и разнообразие агентов, которые появились в теоретико-игровых моделях. За достаточно размытым понятием «игрок» могут стоять как люди, так и фирмы, профсоюзы, политические партии и страны. Это могут быть составляющие человека — в виде клеток и нейронов. Могут быть растения и животные — от самых разумных до низших микроорганизмов. Это могут быть даже механические приборы, например переключатели и роутеры в распределенных системах обработки информации. Обратите внимание, что многие из этих интерпретаций понятия игрока, очевидно, не совместимы с классическим представлением об игроке как о рациональном агенте или с представлением о нем как о ком-то, кто способен сделать выводы из равновесного результата в игре. По мере того как теория игр вышла за пределы экономической науки, она неизбежно сместилась в сторону инструментального лагеря. Теория игр, по-видимому, на пути к тому, чтобы стать языком не только экономической теории, но и социальных наук вообще, а может, и чем-то большим.

Новый дом для теории игр?

Первые формы теории игр появились в математике, включая анализ дуополии Курно (Cournot, 1938), исследование Э.Цермело (Zermelo, 1913) конечных игр с полной информацией и формулировкой Э. Борелем понятия стратегии игр с нулевой суммой (Dimand, Dimand, 1992. P. 18-23)14. Когда в 1940-1950-х годах теория игр сформировалась как область исследований, ею занимались в основном в рамках математики (доступную историю теории игр см. в работе Р. Леонарда: Leonard, 2010).

Сейчас ситуация изменилась. Курсы по теории игр предлагаются лишь на нескольких факультетах математики. Зато каждый аспирантский курс первого года по экономической теории включает существенный объем теории игр, и курсы по теории игр входят как в бакалаврские, так и в магистерские учебные планы экономических факультетов. Этот сдвиг от соотнесения теории игр с математикой к экономической науке отражается и в публикациях. После возникновения International Journal of Game Theory (Международный журнал теории игр) в 1971 г. следующим журналом, посвященным теории игр, стал Games and Economic Behavior (Игры и экономическое поведение), который появился в 1989 г. и отражал связь с экономикой в самом названии.

Должна ли теория игр существовать на экономических факультетах? Ответ не очевиден. С одной стороны, взаимодействие между экономическими приложениями и базовыми результатами теории игр было особенно плодотворным. Многие прорывы в теории игр были мотивированы конкретными экономическими приложениями. Исследование дуополии Курно породило предвестника идеи равновесия по Нэшу. Позже изучение дуополии Штакельбергом (Stackelberg, 1934) способствовало развитию метода обратной индукции. Исследование Фридманом (Friedman, 1971) сговоров подготовило формулировку народной теоремы. Рассмотрение Эджуортом (Edgeworth, 1881. Р. 34—56) конкурентных рынков породило ранний аналог теории ядра. Такие взаимодействия могут быть достаточно плодотворными, чтобы теория игр наиболее эффективно изучалась в рамках экономической науки.

С другой стороны, как уже было отмечено, теория игр становится все более влиятельной во множестве дисциплин за пределами экономической теории. Возможно, неэффективно иметь внутри всех дисциплин группы людей, независимо работающих над связанными проблемами с помощью теоретико-игровых методов, и создав факультеты теории игр, мы могли бы добиться экономии от масштаба. Если мы уверены в преимуществах междисциплинарной работы и готовы создавать новые академические структуры, теория игр может стать первоочередным кандидатом.

Будущее

Каково будущее теории игр в экономической науке? Весьма вероятно, что теория игр останется языком этой науки. Также вероятно, что в новых областях экономических исследований теория игр будет использоваться и развиваться. Так, одним из самых ярких свежих достижений в экономической науке стало создание поведенческой экономики (см., например: Cartwright, 2014). С самого начала поведенческая экономика представляла собой новое поле для использования теории игр. Р. Строц отметил, что динамические задачи максимизации полезности могут породить несоответствия, учитывая, что один и тот же человек в разное время может быть разной личностью с расходящимися интересами (Strotz, 1955—56). Теория игр предоставляет инструменты для изучения взаимодействия между этими различными версиями личности. Тем не менее поведенческая экономика может предложить гораздо больше, чем идею разных версий личности, и новые методы поведенческой экономики проникают к «поведенческую» теорию игр (Camerer et al., 2004; Сатегег, 2003). В очередной раз мы видим плодотворное взаимодействие экономической науки и теории игр, когда они влияют друг на друга.

Перевод с английского О. Волковой


1 Равновесие по Нэшу — профиль стратегий (по одной для каждого игрока), имеющий следующее свойство: стратегия каждого игрока максимизирует его выигрыш при данных стратегиях других игроков.

2 Переводы работы Бертрана (Bertrand, 1883) и соответствующих глав работы Курно (1838) см. в: Daughety, 1988.

3 Стратегия игрока называется слабо доминируемой, если существует альтернативная стратегия, которая всегда (при любой стратегии оппонента) гарантирует игроку выигрыш, не меньший, чем при доминируемой стратегии, а в некоторых случаях (при некоторых стратегиях оппонентов) — больший.

4 В симметричных играх 2x2 с двумя симметричными чистыми равновесиями одно из равновесий доминирует другое по выигрышам, если оно обеспечивает игрокам более высокий выигрыш. Одно из равновесий доминирует по риску, если оно включает стратегии, являющиеся строгими наилучшими ответами на смешанные стратегии оппонента, то есть вероятность, что оппонент не станет придерживаться равновесной стратегии, меньше. Работа Харшаньи и Зельтена чаще других в теории игр интерпретируется превратно. Можно обнаружить утверждения, что теория выбора равновесия Харшаньи и Зельтена предполагает выбор доминирующего по риску равновесия в координационной игре 2x2, но это противоречит их утверждению: «Функция решения... для приложения нашей общей концепции к этому классу [игр 2x2 с двумя строгими равновесиями по Нэшу] отдает абсолютный приоритет доминированию по выигрышам» и далее: «Доминирование по риску и выигрыш комбинируются, чтобы сформулировать отношение доминирования, которое обеспечивает более высокий приоритет доминированию по выигрышам» (Harsanyi, Selten, 1988, p. 196).

5 Аргументы о том, что мы можем рассматривать многопериодные игры как игры, в которых временной горизонт конечен, но не определен, не решают эту проблему, так как дают аналогичный результат, только если вероятность продолжения ограничена и достаточно далека от нуля, что не более реалистично, чем бесконечный горизонт. Обсуждение см. в: Mallath, Samuelson, 2006 (гл. 4).

6 Обзор см. в опубликованном в Journal of Economic Perspectives весной 2002 г. Симпозиуме по эволюционной экономике, который включает работы Т. Бергстрома (Bergstrom, 2002), Р. Нельсона и С. Уинтера (Nelson, Winter, 2002), А. Робсона (Robson, 2002) и Л. Самуэльсона (Samuelson, 2002).

7 Точнее, для любого профиля выигрышей, который достижим в определенном раунде и индивидуально рационален, то есть ни один игрок не может гарантировать, что он получит более высокий выигрыш, если игроки достаточно терпеливы, существует равновесие в многопериодной игре, которое приводит к этому выигрышу.

8 Это наблюдение может показаться тривиальным, но оно не возникает в анализе выбора равновесия при классическом взгляде на теорию игр у Харшаньи и Зельтена (1988), предполагающем отказ от любой интуиции, продиктованной контекстом, в котором идет игра.

9 Шеллинг вводит концепцию фокальной точки, чтобы отразить идею о том, что контекст, в котором идет игра, часто влияет на ожидания и поведение игроков. Например, Шеллинг рассматривает случай, когда два человека договорились о встрече в определенный день в Нью-Йорке, но не оговорили ни время, ни место. Абстрактное представление игры не позволяет различать отдельные моменты времени и локации, то есть нет надежды, что они встретятся. Шеллинг объясняет, что в неформальных опросах почти каждый респондент отметил, что он постарался бы встретиться с другим в полдень на Центральном вокзале (возможно, это характеризует время, когда была написана книга). Вокруг идеи фокальных точек возникла впоследствии обширная литература (например, см.: Binmore, Samuelson, 2006), но многое еще предстоит сделать, как показано в замечании Шеллинга (на Arne Ryde Conference, проведенной в его честь в Лунде, в Швеции, 23 августа 1997 г.) о том, что теория фокальных точек сделала для теории игр больше, чем теория игр — для теории фокальных точек.

10 Спецификация выигрышей для игроков входит в ядро игры, если нет блокирующей коалиции, которая может сформироваться и распределить выигрыши таким образом, чтобы все ее члены оказались в более выгодном положении.

11 Говоря неформально, вектор Шепли — это спецификация выигрышей, которая распределяет каждому игроку среднее его предельных вкладов в различные коалиции, которые могли бы сформироваться.

12 С неформальной точки зрения, N-ядро — такое распределение, в котором коалиция, в наименьшей степени довольная своей долей излишка, настолько довольна, насколько это возможно.

13 Например, рассмотрим рынок браков между мужчинами и женщинами и версию алгоритма отложенного согласия, в котором предложение делают мужчины. Каждый неженатый мужчина делает предложение женщине, которая для него наиболее предпочтительна. Каждая женщина, которая получает хотя бы одно предложение, принимает наиболее предпочтительное для себя предложение и отказывается от остальных. В следующем раунде каждый мужчина, который получил отказ, делает предложение наиболее предпочтительной для себя женщине из тех, кому он предложение еще не делал. Женщина, получающая предложения в этом раунде, принимает наиболее предпочтительное из предложений, будь оно новым или полученным в предыдущем раунде, и отказывается от остальных. Раунды продолжаются. По истечении конечного числа раундов этот процесс достигает устойчивого распределения, и в этот момент предложения более не делаются, а текущий профиль предложений принимается.

14 Э. Борель написал серию работ по теории игр между 1921 и 1927 гг. Наиболее доступный способ ознакомиться с ними — посмотреть публикации «Econometrica» в переводе Л. Сэвиджа с комментарием фон Неймана (Borel, 1953а; 1953b; 1953с).


Список литературы / References

Aguirregabiria V., Nevo А. (2013). Recent developments in empirical IO: Dynamic demand and dynamic games. In: D. Acemoglu, M. Arellano, E. Dekel (eds.). Advances in economics and econometrics: Tenth World Congress, Vol. 3: Econometrics. N. Y.: Cambridge University Press.

Alchian A. A. (1950). Uncertainty, evolution, and economic eheory. Journal of Political Economy, Vol. 53, No. 3, pp. 211—221. [Рус. пер.: Алчиан A. (2007). Неопределенность, эволюция и экономическая теория // Истоки: из опыта изучения экономики как структуры и процесса / Под ред. Я. И. Кузьминова и др. М.: Изд. дом ВШЭ.]

Andreoni J., Varian Н. (1999). Preplay contracting in the Prisoners' Dilemma. Proceedings of the National Academy of Sciences, Vol. 96, No. 19, pp. 10933 — 10938.

Arrow K. J., Debreu G. (1954). Existence of an equilibrium for a competitive economy. Econometrica, Vol. 22, No. 3, pp. 265—290.

Aumann R. J. (2000). What is game theory trying to accomplish? In: Collected papers, Vol. 1. Cambridge, MA: MIT Press, pp. 5—46.

Aumann R. J., Maschler M. (1985). Game theoretic analysis of a bankruptcy problem from the Talmud. Journal of Economic Theory, Vol. 36, No. 2, pp. 195—213.

Baird D. G., Gertner R. H., Picker R. C. (1994). Game theory and the law. Cambridge, MA: Harvard University Press.

Bajari P., Hong H., Nekipelov D. (2013). Game theory and econometrics: A survey of some recent research. In: D. Acemoglu, M. Arellano, E. Dekel (eds.). Advances in Economics and Econometrics: Tenth World Congress, Vol. 3: Econometrics. N. Y.: Cambridge University Press.

Bergstrom Th. C. (2002). Evolution of social behavior: Individual and group selection. Journal of Economic Perspectives, Vol. 16, No. 2, pp. 67—88.

Bernheim D. B. (1984). Rationalizable strategic behavior. Econometrica, Vol. 52, No. 4, pp. 1007-1028.

Bertrand J. L. F. (1883). Book Review of: Theorie mathematique de la richesse sociale and of Recherches sur les principles mathematiques de la theorie des richesses. Journal des Savants, Vol. 67, pp. 499—508.

Besomi D. (ed.) (2003). The collected interwar correspondence of Roy Harrod. Cheltenham: Edward Elgar.

Binmore K. G. (1992). Foundations of game theory. In: J.-J. Laffont (ed.). Advances in economic theory: Sixth world congress, Vol. 1. Cambridge etc.: Cambridge University Press, pp. 1—31.

Binmore K. (1994). Game theory and the social contract, Vol. 1: Playing fair. Cambridge, MA: MIT Press.

Binmore K. (1998). Game theory and the social contract, Vol. 2: Just playing. Cambridge, MA: MIT Press.

Binmore K., Rubinstein A., Wolinsky A. (1986). The Nash bargaining solution in economic modelling. RAND Journal of Economics, Vol. 17, No. 2, pp. 176 — 188.

Binmore K. G., Samuelson L. (2006). The evolution of focal points. Games and Economic Behavior, Vol. 55, No. 1, pp. 21 — 42.

Borel Ё. (1953a). The theory of play and integral equations with skew symmetric kernels. Econometrica, Vol. 21, No. 1, pp. 97—100.

Borel Ё. (1953b). On games that involve chance and the skill of the players. Econometrica, Vol. 21, No. 1, pp. 101-115.

Borel Ё. (1953c). On systems of linear forms of skew symmetric determinant and the general theory of play. Econometrica, Vol. 21, No. 1, pp. 116 — 117.

Broom M., Rychttf J. (2013). Game-theoretical Models in Biology. Boca Raton, FL: CRC Press.

Brown D. J., Kübler F. (2008). Computational aspects of general equilibrium theory: Refutable theories of value. Lecture notes in economics and mathematical systems 604. Heidelberg etc.: Springer.

Brown D. J., Matzkin R. L. (1996). Testable restrictions on the equilibrium manifold. Econometrica, Vol. 64, No. 6, pp. 1249 — 1262.

Camerer C. F. (2003). Behavioral game theory: Experiments in strategic interaction. Princeton: Princeton University Press.

Camerer C. F., Loewenstein G., Rabin M. (eds.) (2004). Advances in behavioral economics. Princeton: Princeton University Press.

Carroll L. (1893). Sylvie and Bruno concluded. L.: Macmillan and Co. [Рус. пер.: Кэрролл Л. (2003). Сильвия и Бруно. М.; Томск: Водолей.]

Cartwright Е. (2014). Behavioral economics. 2nd ed. Abingdon and N.Y.: Routledge.

Chiappori P.-A., Ekeland I., Kübler F., Polemarchakis H. M. (2004). Testable implications of general equilibrium theory: A differentiable approach. Journal of Mathematical Economics, Vol. 40, No. 1-2, pp. 105-119.

Colman A. M. (1999). Game theory & its applications in the social and biological sciences. 2nd ed. London and N. Y.: Routledge.

Cooper R., John A. (1988). Coordinating coordination failures in Keynesian models. Quarterly Journal of Economics, Vol. 103, No. 3, pp. 441 — 463.

Cournot A. A. 1838 [1927]. Researches into the mathematical principles of the theory of wealth. London: McMillan.

Damme E. van. (1991). Stability and perfection of Nash equilibria. 2nd ed. Heidelberg etc.: Springer.

Damme E. van. (1992). Refinements of Nash equilibrium. In: J.-J. Laffont (ed.). Advances in economic theory: Sixth world congress, Vol. 1. Cambridge etc.: Cambridge University Press, pp. 32—88.

Daughety A. F. (ed.) (1988). Cournot oligopoly: Characterization and applications. Cambridge: Cambridge University Press.

Debreu G. (1959). Theory of value: An axiomatic analysis of economic equilibrium. New Haven: Yale University Press.

Debreu G. (1974). Excess demand functions. Journal of Mathematical Economics, Vol. 1, No. 1, pp. 15-21.

Debreu G., Scarf H. (1963). A limit theorem on the core of an economy. International Economic Review, Vol. 4, No. 3, pp. 235—246.

Diamond D. W., Dybvig Ph. H. (1983). Bank runs, deposit insurance, and liquidity. Journal of Political Economy, Vol. 91, No. 3, pp. 401 — 419.

Dimand R. W., Dimand M. A. (1992). The early history of the theory of strategic games from Waldegrave to Borel. In: E. R. Weintraub (ed.). Toward a history of game theory, history of political economy. Durham: Duke University Press, pp. 15—28.

Dtlppe Т., Weintraub E. R. (2014). Finding equilibrium: Arrow, Debreu, McKensie and the problem of scientific credit. Princeton: Princeton University Press.

Edgeworth F. (1881). Mathematical psychics. L.: Kegan Paul.

Friedman J. W. (1971). A noncooperative equilibrium for supergames. Review of Economic Studies, Vol. 38, No. 1, pp. 1 — 12.

Fudenberg D., Levine D. K. (1998). The theory of learning in games. Cambridge, MA: MIT Press.

Fudenberg D., Maskin E. (1986). The Folk Theorem in repeated games with discounting or with incomplete information. Econometrica, Vol. 54, No. 3, pp. 533—554.

Fudenberg D., Tirole J. (1991). Game theory. Cambridge, MA: MIT Press.

Gale D., Shapley L. S. (1962). College admissions and the stability of marriage. American Mathematical Monthly, Vol. 69, No. 1, pp. 9—15.

Gauthier D. (1986). Morals by agreement. Oxford: Clarendon Press.

Glimcher P. W., Camerer C. F., Fehr E., Poldrack R. A. (2009). Neuroeconomics: Decision making and the brain. N. Y.: Academic Press.

Gul F. (1989). Bargaining foundations of the Shapley value. Econometrica, Vol. 57, No. 1, pp. 81-95.

Hammerstein P., Riechert S. E. (1988). Payoffs and strategies in territorial contests: ESS analyses of two ecotypes of the spider Agelenopsis aperty. Evolutionary Ecology, Vol. 2, No. 2, pp. 115-138.

Harsanyi J. С., Selten R. (1988). A general theory of equilibrium selection in games. Cambridge, MA: MIT Press. [Рус. пер.: Харшаньи Дж., Зельтен P. (2001). Общая теория выбора равновесия в играх. СПб.: Экономическая школа.]

Hofbauer J., Sandholm W. H. (2011). Survival of dominated strategies under evolutionary dynamics. Theoretical Economics, Vol. 6, No. 3, pp. 351—377.

Klemperer P. (2004). Auctions: theory and practice. Princeton: Princeton University Press.

Kohlberg E., Mertens J.-F. (1986). On the strategic stability of equilibria. Econometrica, Vol. 54, No. 5, pp. 1003-1038.

Kreps D. M., Scheinkman J. A. (1983). Quantity precommitment and Bertrand competition yield Cournot outcomes. Bell Journal of Economics, Vol. 14, No. 2, pp. 326 — 337.

Kreps D. M., Wilson R. (1982a). Sequential equilibrium. Econometrica, Vol. 50, No. 4, pp. 863-894.

Kreps D. M., Wilson R. (1982b). Reputation and imperfect information. Journal of Economic Theory, Vol. 27, No. 2, pp. 253—279.

Krishna V. (2002). Auction theory. N.Y. etc.: Academic Press.

Lasaulce S., Tembine H. (2011). Game theory and learning for wireless networks: Fundamentals and applications. 1st ed. N.Y. etc.: Academic Press.

Leonard R. (2010). Von Neumann, Morgenstern, and the creation of game theory: From chess to social science, 1900—1960. Cambridge: Cambridge University Press.

Ledyard J. O. (1986). On the scope of the hypothesis of Bayesian equlibrium. Journal of Economic Theory, Vol. 39, No. 1, pp. 59 — 82.

Liu Q., Mailath G. J., Postlewaite A., Samuelson L. (2014). Stable matching with incomplete information. Econometrica, Vol. 82, No. 2, pp. 541—588.

Mailath G. J., Samuelson L. (2006). Repeated games and reputations: Long-run relationships. Oxford: Oxford University Press.

Mantel R. R. (1974). On the characterization of aggregate excess demand. Journal of Economic Theory, Vol. 7, No. 3, pp. 348—353.

Maynard Smith J. (1982). Evolution and the theory of games. N. Y.: Cambridge University Press.

Maynard Smith J., Price G. R. (1973). The logic of animal conflict. Nature, Vol. 246, No. 5427, pp. 15-18.

McCarty N., Meirowitz A. (2007). Political game theory. Cambridge: Cambridge University Press.

McKenzie L. (1954). On equilibrium in Graham's model of world trade and other competitive systems. Econometrica, Vol. 22, No. 2, pp. 147—161.

McLennan A. (2005). The expected number of Nash equilibria of a normal form game. Econometrica, Vol. 73, No. 1, pp. 141 — 174.

Milgrom P. (2004). Putting auction theory to work. Cambridge: Cambridge University Press.

Milgrom P., Roberts J. (1982a). Limit pricing and entry under incomplete information: An equilibrium analysis. Econometrica, Vol. 50, No. 2, pp. 443 — 460.

Milgrom P., Roberts J. (1982b). Predation, reputation and entry deterrence. Journal of Economic Theory, Vol. 27, No. 2, pp. 280 — 312.

Miller D. A., Watson J. (2013). A theory of disagreement in repeated games with bargaining. Econometrica, Vol. 81, No. 6, pp. 2303—2350.

Muthoo A. (1999). Bargaining theory with applications. Cambridge: Cambridge University Press.

Myerson R. B. (1991). Game theory: Analysis of conflict. Cambridge, MA: Harvard University Press.

Nash J. F. (1950a). Equilibrium points in /^-person games. Proceedings of the National Academy of Sciences, Vol. 36, No. 1, pp. 48 — 49.

Nash J. F. (1950b). The bargaining problem. Econometrica, Vol. 18, No. 2, pp. 155 — 162.

Nash J. F. (1951). Non-cooperative games. Annals of Mathematics, Vol. 54, No. 2, pp. 286-295.

Nash J. F. Jr. (1953). Two-person cooperative games. Econometrica, Vol. 21, No. 1, pp. 128-140.

Nelson R. R., Winter S. G. (2002). Evolutionary theorizing in economics. Journal of Economic Perspectives, Vol. 16, No. 2, pp. 23 — 46.

Neumann J. von, Morgenstern О. (1944). Theory of games and economic behavior. Princeton: Princeton University Press. [Рус. пер.: Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. (1970). Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука.]

Nisan N., Roughgarden Т., Tardos Е., Vazirani V. V. (eds.) (2007). Algorithmic game theory. Cambridge: Cambridge University Press.

Osborne M. J., Rubinstein A. (1994). A course in game theory. Cambridge, MA: MIT Press.

Ostrom E. (1990). Governing the commons: The evolution of institutions for collective action. Cambridge etc.: Cambridge University Press.

Palacios-Huerta I., Volij O. (2009). Field centipedes. American Economic Review, Vol. 99, No. 4, pp. 1619-1635.

Pearce D. G. (1984). Rationalizable strategic behavior and the problem of perfection. Econometrica, Vol. 52, No. 4, pp. 1029 — 1050.

Perry M., Reny Ph. J. (1994). A noncooperative view of coalition formation and the core. Econometrica, Vol. 62, No. 4, pp. 795 — 817.

Roberts J. (1987). Battles for market share: Incomplete information, aggressive strategic pricing and competitive dynamics. In: T. F. Bewley (ed.). Advances in economic theory: Fifth world congress. Cambridge etc.: Cambridge University Press.

Robson A. J. (2002). Evolution and human nature. Journal of Economic Perspectives, Vol. 16, No. 2, pp. 89-106.

Roth A. E. (2008a). Deferred acceptance algorithms: History, theory, practice, and open questions. International Journal of Game Theory, Vol. 36, No. 3, pp. 537—569.

Roth A. E. (2008b). What have we learned from market design? Economic Journal, Vol. 118, No. 527, pp. 285-310.

Roth A. E. (2015). Who gets what and why: The new economics of matchmaking and market design. Boston: Houghton Mifflin Harcourt.

Roth A. E., Sotomayor M. A. O. (1990). Two-sided matching: A study in game-theoretic modeling and analysis. Cambridge etc.: Cambridge University Press.

Rubinstein A. (1982). Perfect equilibrium in a bargaining model. Econometrica, Vol. 50, No. 1, pp. 97-109.

Samuelson L. (1993). Does evolution eliminate dominated strategies? In: K. Binmore, A. P. Kirman, P. Tanni (eds.). Frontiers of game theory. Cambridge, MA: MIT Press.

Samuelson L. (1997). Evolutionary games and equilibrium selection. Cambeidge, MA: MIT Press.

Samuelson L. (2002). Evolution and game theory. Journal of Economic Perspectives, Vol. 16, No. 2, pp. 47-66.

Sandholm W. H. (2010). Population games and evolutionary dynamics. Cambridge, MA: MIT Press.

Schelling Т. C. (1960). The strategy of conflict. Cambridge, MA: Harvard University Press. [Рус. пер.: Шеллинг Т. (2005). Стратегия конфликта. М.: ИРИСЭН.]

Schmalensee R. (1982). The new industrial organization and the economic analysis of modern markets. In: W. Hildenbrand (ed.). Advances in economic theory: Invited papers for the Fourth world congress of the Econometric Society. Cambridge etc.: Cambridge University Press, pp. 253—285.

Schmeidler D. (1969). The nucleolus of a characteristic function game. SI AM Journal of Applied Mathematics, Vol. 17, No. 6, pp. 1163-1170.

Shaked A. (1994). Opting out: Bazaars vs. 'hi tech' markets. Investigaciones Econömicas, Vol. 18, No. 3, pp. 421-432.

Shapley L. S. (1953). A value of n-person games. In: H. E. Kuhn, A. W. Tucker (eds.). Contributions to the Theory of games II. Princeton: Princeton University Press.

Shubik M., Young H. P. (1978). The nucleolus as noncooperative game solution. In: P. C. Ordeshook (ed.). Game theory and political science. N.Y.: New York University Press.

Skyrms В. (2004). The stag hunt and the evolution of social structure. Cambridge etc. Cambridge University Press.

Sonnenschein H. (1973). Do Walras' identity and continuity characterize the class of community excess demand functions? Journal of Economic Theory, Vol. 6, No. 4, pp. 345 — 354.

Stackelberg H. von (1934). Marktform und Gleichgewicht. Wien, Berlin: Julius Springer.

Strotz R. H. (1955 — 1956). Myopia and inconsistency in dynamic utility maximization. Review of Economic Studies, Vol. 23, No. 3, pp. 165 — 180.

Vega-Redondo F. (1996). Evolution, games and economic behavior. Oxford: Oxford University Press.

Vega-Redondo F. (1997). The evolution of Walrasian behavior. Econometrica, Vol. 65, No. 2, pp. 375-384.

Walras L. (1874 [1954]). Elements of pure economics, or The theory of social wealth. London: Allen and Unwin. [Рус. пер.: Вальрас Л. (2000). Элементы чистой политической экономии. М.: Изограф.]

Weibull J. W. (1995). Evolutionary game theory. Cambridge, MA: MIT Press.

Weiss L. W. (1971). Quantitative studies of industrial organization. In: M. D. Intriligator (ed.). Frontiers of quantitative economics. Amsterdam etc.: North-Holland.

Winter E. (2002). The Shapley value. In: R. J. Aumann, S. Hart (eds.). Handbook of game theory with economic applications, Vol. 3. Amsterdam etc.: North-Holland.

Young H. P. (1994). Cost allocation. In: R. J. Aumann, S. Hart (eds.). Handbook of game theory with economic applications, Vol. 2. Amsterdam etc.: North-Holland.

Young H. P. (1998). Individual strategy and social structure. Princeton: Princeton University Press.

Zatuski W. (2015). Game theory in jurisprudence. Krakyw: Copernicus Center Press.

Zermelo E. (1913). "Uber eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels." In: E. W. Hobson, A. E. H. Love (eds.). Proceedings of the Fifth International Congress of Mathematicians, Vol. II. Cambridge: Cambridge University Press, pp. 501-504. [In English: Schwalbe U., Walker P. (2001). Zermelo and the early history of game theory. Games and Economic Behavior, Vol. 34, No. 1, pp. 133-136].