Математические основы теории риска - Королев В.Ю.

Описание: Книга «Математические основы теории риска» посвящена математическим основам теории риска. Перед тем как говорить о математических моделях рисковых ситуаций и методах их изучения, мы, конечно же, должны определить, что мы подразумеваем под словом "риск". Можно было бы построить изложение так, чтобы избегать более или менее строгих определений этого понятия, надеясь на интуитивное его восприятие читателем. Однако, коль скоро данная книга - математическая, придерживаться такой "страусиной" политики мы не можем. Несмотря на то, что разные уважаемые источники (от "Толкового словаря русского языка" В. И. Даля до энциклопедии "Вероятность и математическая статистика" под редакцией академика Ю. В. Прохорова) по-разному трактуют это понятие, мы сначала дадим только одно (правда, не очень строгое и потому не вполне математическое) определение, которое, однако, затем снабдим более четкой теоретико-вероятностной формализацией. "Усредняя" определения риска из всех просмотренных нами источников, включая упомянутые выше, мы приходим к следующему.
Риском мы будем называть совокупность значения возможного ущерба в некоторой стохастической ситуации и его вероятности.
Такое определение вполне согласуется с интуицией. Единственно, что может вызвать опасения - так это явно негативный оттенок слова ущерб, в то время как, например, у В. И. Даля совершенно обоснованно одними из синонимов риска объявляются слова удача, отвага с явно положительным оттенком. Эти опасения мы снимем, формально допуская, что ущерб может быть отрицательным (в таком случае он превращается в приход, доход).
Попробуем теперь дать более формальную вероятностную конкретизацию приведенного выше определения. Величина возможного ущерба в стохастической ситуации, очевидно, до осуществления этой ситуации неизвестна и потому случайна. Таким образом, теоретико-вероятностным аналогом понятия ущерба, очевидно, является понятие случайной величины. Совокупность же значений случайной величины и их вероятностей в теории вероятностей задается распределением случайной величины. Таким образом, под риском хотелось бы понимать случайную величину. Однако, если риски отождествляются со случайными величинами, заданными на разных вероятностных пространствах, задача сравнения таких рисков оказывается принципиально неразрешимой и даже бессмысленной, так как соответствующие им случайные величины как функции элементарных исходов зависят от аргументов, имеющих разный смысл. Поэтому в подобных ситуациях приходится отождествлять риски с функциями распределения.
Итак, под математической теорией риска формально следует понимать совокупность моделей и методов теории вероятностей, применяемых к анализу случайных величин и их распределений. Такая интерпретация довольно широка и сводится к тому, что так интерпретируемая теория риска должна быть отождествлена с дисциплиной, за которой закреплено название "прикладная теория вероятностей" и которая включает в себя, в частности, такую важную и богатую результатами область как теория надежности.
Написание обстоятельного учебника по прикладной теории вероятностей с учетом всех возможных областей приложения ее моделей и методов представляет собой титаническую и практически невыполнимую задачу. Поэтому при выборе материала для данной книги как учебника по соответствующим курсам, читаемым сейчас в университетах, мы в значительной степени руководствовались традицией и ограничились теми разделами, которые традиционно относятся к теории риска, тем более что наряду с широким толкованием термина "теория риска" во многих источниках под теорией риска понимается довольно узкая область актуарной (или страховой) математики.
Как известно, в основе всех актуарных задач лежит неоспоримое присутствие случайности. Слияние методов из различных теорий (и прежде всего из различных разделов теории вероятностей) привело к созданию полнокровной ветви науки, называемой актуарной (страховой) математикой. К методическому ядру этой науки относится теория страхового риска, с вероятностной точки зрения рассматривающая вопросы функционирования страховых компаний. В данной книге наряду с другими разделами излагаются основы математической теории такого вида страхования, которое принято называть рисковым. Этот термин не совсем удачен - ведь любое страхование представляет собой не что иное как один из механизмов противодействия риску и потому
"рисковое страхование" - это в определенном смысле тавтология. Этот термин, правда, лучше, чем "страхование не-жизни", представляющее собой буквальный перевод английского аналога "non-life insurance", который является антонимом термина "life insurance", использующегося для обозначения страхования жизни. Сходный термин "рисковые виды страхования" используется в некоторых документах российского органа страхового надзора, в частности, в "Методике расчета тарифных ставок по рисковым видам страхования" (Методика, 1993), (Методика, 1994). Кроме того, в российской страховой литературе для перевода термина "non-life insurance" иногда используется еще более громозкое понятие - "виды страхования, отличные от страхования жизни". Отметим, что наиболее яркой отличительной чертой "рискового страхования" от страхования жизни является то, что при страховании жизни величина страхового тарифа традиционно полагается равной средней величине относительных выплат, а в "рисковых видах страхования" страховой тариф включает, кроме того, надбавку (нагрузку безопасности), предназначенную для достижения приемлемого для страховщика значения вероятности неразорения (безубыточности страховой деятельности). Именно такова структура тарифов в большинстве рассматриваемых в данной книге моделей. Таким образом, в данной книге значительное место отведено математической теории именно страхования, отличного от страхования жизни, а выражаясь кратко, - рискового страхования.
Имея также в виду расширительное понимание теории риска, мы включили в книгу и некоторые дополнительные разделы, в частности, связанные с аналитическими методами теории риска, основанными на смешанных гауссовских моделях. Эти методы обосновывают целесообразность использования распределений с тяжелыми хвостами при анализе некоторых рисковых ситуаций и позволяют избегать возможной недооценки риска существенных потерь во многих конкретных случаях.
Базой для данной книги явились учебные пособия (Бенинг и Королев, 2000а), (Бенинг и Королев, 2000б) и (Бенинг, Королев и Шоргин, 2001), материал которых подвергся существенной переработке и дополнен многими новыми разделами. При выборе материала для книги основное внимание было уделено тем разделам теории риска и страховой математики, которые традиционно включаются в наиболее популярные учебники и руководства по этим и родственным дисциплинам. При этом, однако, авторы конечно же отдают себе отчет в том, что на окончательный выбор материала оказали существенное влияние их собственные научные пристрастия.
Наряду с хорошо известными классическими результатами (некоторые из них снабжены новыми доказательствами, по мнению авторов, более удобными с методической точки зрения) в книге изложены некоторые новейшие результаты в области теории риска (например, относящиеся к оценкам точности нормальной аппроксимации для распределений сумм независимых случайных величин, исследованию асимптотики распределения суммарного страхового требования, факторизационной модели индивидуального страхового иска, аппроксимации вероятности разорения при малой нагрузке безопасности, обобщенным процессам риска, статистическому оцениванию вероятности разорения, классическим процессам риска со случайными премиями как моделям процессов спекуляции, стоимостному подходу к оптимизации основных параметров страховой деятельности, аналитическим методам теории риска, основанным на смешанных гауссовских моделях). Почти все новые результаты, включенные в книгу, получены авторами.
Хотя в качестве примеров применения описываемых в данной книге результатов и методов используются разнообразные задачи из области рисковых видов страхования, по своей сути являющихся механизмами экономической стабилизации, книга имеет явно выраженный математический характер, и для освоения содержащегося в ней материала в полном объеме, от читателя требуется довольно серьезная изначальная математическая подготовка.
Данный учебник предназначен для студентов и аспирантов математических и экономико-математических специальностей и специализаций вузов (математика, прикладная математика, финансовая математика, актуарная математика, страховое дело). Изложение построено таким образом, чтобы книга также могла использоваться в качестве справочника актуариями и специалистами-аналитиками, работающими в страховых и финансовых компаниях, чья деятельность связана с оцениванием риска и анализом разнообразных рисковых ситуаций. Не будет она бесполезной и тем студентам и аспирантам, которые специализируются в области теории надежности, а также специалистам, которые уже работают в этой области.
От читателя требуется хорошее знание базового курса теории вероятностей. Однако мы старались избегать слишком "продвинутых" в математическом отношении формулировок и доказательств, чтобы круг возможных читателей включал и нематематиков-специалистов как в области страхования, так и в других областях, связанных с изучением и разработкой методов противодействия рискам разнообразных неблагоприятных событий (аварий, катастроф и пр.), желающих глубже ознакомиться с математическими аспектами моделирования и прогнозирования рисков. Для удобства читателей в список литературы включены не только непосредственные источники приводимых результатов, на которые имеются ссылки в тексте, но также и другие статьи и книги, которые, по мнению авторов, могут оказаться полезными читателям, которые пожелают продолжить изучение математической теории страхования и теории риска.
Учебник «Математические основы теории риска» содержит материал, который в течение последних лет авторы читали и читают студентам факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова в рамках курсов "вероятностные модели" и "прикладные задачи теории вероятностей", студентам факультета математических методов в экономике Российской экономической академии им. Г. В. Плеханова в рамках курсов "теория риска" и "актуарная математика", а также студентам отделения прикладной математики Вологодского государственного педагогического университета в рамках курсов "теория риска - I" и "теория риска - II". Эта книга может служить основой еще для нескольких курсов, например, "математические основы актуарной математики" (главы 1,2); "теория страхового риска" (главы 3 - 11); "большие риски в теории надежности" (главы 1, 2, 3, 12).
Главная доля ответственности за недочеты, имеющиеся в книге, ложится на В. Ю. Королева, поскольку им выполнена основная часть работы, связанной с подбором материала и подготовкой текста. Однако работа над книгой проходила в тесном контакте между всеми авторами, так что ответственность за, возможно, имеющиеся некоторые достоинства книги все авторы делят поровну.
Авторы признательны академику Ю. В. Прохорову и профессору, доктору экономических наук В. И. Рябикину, поддержавшим идею написания данной книги, рецензентам книги профессору кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова доктору физико-математических наук Е. В. Булинской и декану факультета математических методов в экономике Российской экономической академии им. Г. В. Плеханова доктору экономических наук профессору Н. П. Тихомирову за замечания и советы, которые, несомненно, способствовали улучшению изложения.
Работа над книгой поддерживалась грантами Российского фонда фундаментальных исследований, проекты 04-01-00671, 05-01-00396 и 05-01-00535.

---

Содержание книги
«Математические основы теории риска»

Основные понятия теории вероятностей

1. Стохастические ситуации и их математические модели
2. Случайные величины и их распределения
3. Моменты случайных величин. Основные неравенства
4. Производящие и характеристические функции
5. Сходимость случайных величин и их распределений
6. Центральная предельная теорема, ее уточнения и обобщения
   • Центральная предельная теорема
   • Неравенство Берри-Эссеена
   • Уточнения неравенства Берри-Эссеена
   • Неравномерные оценки
   • Устойчивые и безгранично делимые распределения
7. Суммы случайных индикаторов. Теорема Пуассона
8. Случайные процессы

Некоторые свойства случайных сумм

1. Элементарные свойства случайных сумм
2. Пуассоновски-смешанные и обобщенные пуассоновские распределения
3. Дискретные обобщенные пуассоновские распределения
   • Примеры дискретных обобщенных пуассоновских распределений
   • Рекуррентные соотношения для дискретных обобщенных пуассоновских распределений
   • Дискретные  безгранично делимые законы как обобщенные пуассоновские распределения
4. Асимптотическая нормальность пуассоновских случайных сумм
   • Сходимость распределений пуассоновских случайных сумм к нормальному закону
   • Неравенство Берри-Эссеена для пуассоновских случайных сумм
   • Нецентральные ляпуновские дроби
   • Точность нормальной аппроксимации для распределений случайных сумм с безгранично делимым индексом
   • Уточнения неравенства Берри-Эссеена для пуассоновских случайных сумм
5. Асимптотические разложения для обобщенных пуассоновских распределений
6. Асимптотические разложения для квантилей обобщенных пуассоновских распределений
7. Неравенство Бернштейна-Колмогорова для пуассоновских случайных сумм
8. Приближение вероятностей больших уклонений обобщенных пуассоновских распределений с помощью преобразования Эсшера
9. Теорема переноса
10. Смеси вероятностных распределений
    • Основные определения
    • Идентифицируемость смесей вероятностных распределений
11. Случайные суммы случайных индикаторов. Аналог теоремы Пуассона

Математические модели страхового риска

1. Модели и задачи теории риска
2. Основные задачи теории индивидуального риска
3. Основные задачи теории коллективного риска

Сравнение рисковых ситуаций и простейшие методы расчета страховых тарифов

1. Рисковые ситуации в страховании
2. Сравнение рисковых ситуаций
3. Функции полезности
4. Страхование с точки зрения клиента
5. Страхование со стороны страховой компании
6. Эмпирическое определение функции полезности
7. Модель Эрроу
8. Общие принципы расчета тарифных ставок

Модель индивидуального pостa (статическая модель)

1. Модели объема страхового портфеля
   • Постановка задачи
   • Выбор модели распределения из класса Каца-Панджера и нормальная аппроксимация составного распределения
   • Точность нормальной аппроксимации для распределений случайных сумм с индексом из класса Каца-Панджера
   • Пуассоновско-биномиальная модель распределения целочисленной случайной величины. Нормальная аппроксимация составного распределения
   • Пуассоновско-биномиальная модель распределения целочисленной случайной величины. Аппроксимация распределения
   • Обобщенная пуассоновско-биномиальная модель распределения целочисленной случайной величины. Аппроксимация распределений сумм случайного числа случайных индикаторов
2. Вероятность разорения в модели индивидуального риска. Классическая асимптотическая формула для страховых премий в статической модели страхования
3. Факторизационная модель индивидуальных исков и постановка задач, относящихся к статической модели страхования
   • Факторизационная модель
   • Постановка задачи определения оптимальной страховой ставки
4. Основные предположения и обозначения в рамках Ф-модели
5. Простейшая формула для страховой ставки, учитывающая два момента распределения иска, в условиях факторизационной модели
6. Асимптотические оценки страховых премий, основанные на нормальной аппроксимации распределения итогового страхового фонда
   • Общая теорема
   • Частные случаи распределения объема страхового портфеля
7. Асимптотические оценки страховой премии, основанные на уточненной нормальной аппроксимации распределения итогового страхового фонда
8. Гарантированные (верхние) оценки страховых тарифов в статической модели страхования
   • Постановка задачи
   • Верхние оценки страховой ставки для детерминированного объема страхового портфеля
   • Верхние оценки страховой ставки для объема страхового портфеля, распределенного по закону Пуассона
9. Доказательства теорем
   • Доказательство теоремы 5.8.2
   • Доказательство теоремы 5.8.3
   • Доказательство теоремы 5.8.5
10. Аппроксимация необходимого резервного капитала страховой компании, обслуживающей много неоднородных контрактов
    • Вспомогательные утверждения
    • Основные результаты
    • Примеры

Дискретная динамическая модель коллективного риска

1. Понятие о дискретной динамической модели страхования
2. Формальная постановка задачи определения минимально допустимой страховой ставки в дискретной динамической модели страхования
3. Оценки страховых ставок в дискретной динамической модели страхования при нормальном распределении дохода за тест-период
4. Оценки страховых ставок в дискретной динамической модели страхования при равномерно ограниченных страховых суммах
5. Доказательства теорем
   • Доказательство теоремы 6.3.1
   • Доказательство теоремы 6.4.1

Модели коллективного pостa (динамические модели)

1. Процессы риска Спарре Андерсена. Классический процесс риска
2. Определения и простейшие свойства пуассоновского процесса
3. Пуассоновский точечный процесс как модель абсолютно хаотичного распределения событий во времени
4. Информационные свойства пуассоновского процесса
5. Асимптотическая нормальность пуассоновского процесса
6. Смешанные пуассоновские процессы
7. Определение и простейшие свойства дважды стохастических пуассоновских процессов
8. Общая предельная теорема о сходимости суперпозиций независимых случайных процессов
9. Асимптотические свойства дважды стохастических пуассоновских процессов
10. Распределение суммарных страховых выплат
11. Асимптотика распределений суммарных страховых требований в процессах риска Спарре Андерсена

Вероятность разорения

1. Формула Поллачека-Хинчина-Беекмана для вероятности разорения в классическом процессе риска
2. Приближенная формула для вероятности разорения при малой нагрузке безопасности
3. Асимптотические разложения для вероятности разорения при малой нагрузке безопасности
4. Эмпирические аппроксимации для вероятности разорения в классическом процессе риска
   • Эмпирическая аппроксимация Де Вилдера
   • Эмпирическая аппроксимация Беекмана-Бауэрса
5. Диффузионная аппроксимация для вероятности разорения в классическом процессе риска
6. Асимптотическая аппроксимация вероятности разорения при большом начальном капитале. Теорема Крамера-Лундберга
7. Неравенства для вероятности разорения в классическом процессе риска
   • Неравенство Лундберга
   • Двусторонние оценки для вероятности разорения
8. Вероятность разорения за конечное время

Обобщенные процессы риска

1. Определение обобщенных процессов риска
2. Асимптотическое поведение обобщенных процессов риска
3. Обобщенные процессы риска при наличии больших выплат
4. Обобщенные процессы риска с пакетным поступлением страховых требований
5. Классические процессы риска со случайными премиями
   • Определение и простейшие свойства
   • Вероятность разорения
   • Описание модели спекулятивной деятельности пункта обмена валют
   • Постановка задачи оптимизации спекулятивной прибыли
   • Решение, основанное на нормальной аппроксимации
   • Примеры
   • Решение, основанное на экспоненциальных оценках вероятностей больших уклонений пуассоновских случайных сумм

Стоимостной подход к математическому описанию функционирования страховых компаний

1. Введение. Постановка задачи
2. Основное уравнение
3. Оценки для оптимального начального капитала
4. Нижняя оценка для оптимального начального капитала в условиях равномерно ограниченных страховых выплат

Статистическое оценивание параметров страховой деятельности

1. Проблема статистического оценивания распределения страховых выплат
   • Подгонка распределений
   • Непараметрическое оценивание
   • Параметрическое оценивание
   • Наиболее часто употребляемые дискретные распределения и оценки их параметров
   • Наиболее часто употребляемые непрерывные распределения размера страховой выплаты и оценки их параметров
   • Критерий согласия хи-квадрат
   • Критерий согласия Колмогорова
   • Выбор наилучшей модели
2. Статистические оценивание вероятности разорения в классическом процессе риска
3. Непараметрическая оценка для вероятности разорения в обобщенном процессе риска

Смешанные гауссовские вероятностные модели рисковых ситуаций

1. Принципы анализа рисковых ситуаций с помощью смешанных гауссовских вероятностных моделей
2. Предельные теоремы для обобщенных процессов Кокса
   • Обобщенные процессы Кокса
   • Теоремы переноса для обобщенных процессов Кокса
   • Асимптотические разложения для квантилей обобщенных процессов Кокса
3. Некоторые свойства масштабных смесей нормальных законов
   • Основные определения
   • Островершинность масштабных смесей нормальных законов
   • Масштабные нормальные смеси как сверточные симметризации вероятностных распределений
   • Масштабные нормальные смеси как рандомизационные симметризации вероятностных распределений
4. Предельные теоремы для асимптотически нормальных статистик, построенных по выборкам случайного объема
   • Вспомогательные результаты
   • От асимптотической нормальности к распределениям с тяжелыми хвостами
5. Анализ случайных рисков с помощью центральных и промежуточных порядковых статистик
   • Асимптотическое распределение выборочных квантилей, построенных по выборке случайного объема
   • Предельные теоремы для промежуточных порядковых статистик, построенных по выборкам случайного объема
6. О распределении Стьюдента как альтернативе нормальному и другим устойчивым законам в статистике
   • Распределение Стьюдента как масштабная смесь нормальных законов
   • Распределение Стьюдента как асимптотическая аппроксимация
   • Вспомогательные утверждения
   • Основные результаты и выводы
   • Случай малого "числа степеней свободы"

Список литературы

---

скачать книгу: Математические основы теории риска - Королев В.Ю.

---