Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М. - Учебник

Описание: Учебное пособие «Математика для социологов и экономистов» удовлетворяет требованиям новых государственных образовательных стандартов к минимуму содержания и уровню подготовки в области математики для социально-экономических направлений и специальностей и написано в соответствии с примерной программой дисциплины «Математика», одобренной Научно-методическим советом по математике Министерства образования Российской Федерации. Пособие включает следующие девять разделов программы: «Введение в математический анализ», «Основы математической логики», «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», «Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков», «Неопределенный интеграл», «Определенный интеграл», «Функции нескольких переменных», «Обыкновенные дифференциальные уравнения», «Системы обыкновенных дифференциальных уравнений». Кроме обязательного материала автор счел необходимым включить в пособие главу, посвященную разностным уравнениям, широко используемым в экономической теории.

Пособие написано на основе лекций, прочитанных автором в течении ряда лет на экономических факультетах университетов и академий.
Многолетний преподавательский опыт автора свидетельствует о том, что насыщение лекций сведениями из истории становления и развития математики пробуждает у студентов интерес к предмету, углубляет знания и способствует более осмысленному изучению материала. Поэтому в книгу в виде специальных вставок включены некоторые биографические сведения тех математиков, именами которых названы теоремы, критерии, формулы, задачи, методы и математические понятия.
Изложение материала часто сопровождается историческими отступлениями, что позволяет лучше понять необходимость введения того или иного понятия. Приводятся также переводы соответствующих терминов с латинского, греческого и других языков, что способствует их лучшему запоминанию и осмыслению.
Автором учтены также изменения в математике, произошедшие в 90-х гг. XX в. — появление универсальных пакетов символьных вычислений, которые позволяют без знания алгоритмов и программ решать на компьютере сложнейшие численные и аналитические задачи: отыскивать производные сложных функций, строить графики, вычислять непростые пределы, решать системы уравнений и многое другое.
Автору необходимо было для определенности демонстрации возможностей пакетов символьных вычислений остановится на одном из них. Для этих целей был выбран пакет Maple, поскольку он обладает уникальным ядром символьных вычислений, мощнейшей графикой и удобной системой помощи. К тому же, возможности символьного анализатора Maple используются и в других пакетах: он включен в состав инженерного пакета MathCad и пакета символьной математики MatLab; он содержится также и в пакете Scientific Workplace — рабочем месте исследователя, где совмещены операции написания формул, проведения выкладок и численных расчетов, графического оформления результатов и подготовки публикаций в формате ЖГ^Х'а, в котором оформлена эта книга; создан также Math Office for Word, объединяющий возможности пакета Maple и популярного редактора Word.
После изучения какого-либо математического понятия (предела, производной, интеграла и т. п.) и решения соответствующих примеров демонстрируются также примеры с вычислениями в пакете Maple.
Для удобства пользования пособием наиболее важные формулы выделены в рамку. В колонтитулах, помимо номеров страниц, указываются также номера и названия глав и параграфов. Названия параграфов приводятся на нечетных страницах, а названия глав — на четных. Кроме того, в конце пособия приводится алфавитный указатель, по которому можно легко найти определение понятия или биографию ученого.
Знаком □ обозначается начало доказательства теоремы, а знаком ■ — ее окончание; знаком V — начало примера, знаком А — окончание решения.
Пользуясь возможностью, автор искренне благодарит всех, кто своими советами способствовал улучшению этой книги. Особо признателен рецензенту профессору В. А. Треногину, а также своему коллеге Р. А. Башмакову, замечания и пожелания которых были наиболее полезными.

---

«Математика для социологов и экономистов»

1. Понятие множества
2. Понятие функции
3. Способы задания функции
4. Основные свойства функций
5. Обратная функция

Элементарные функции

1. Основные элементарные функции
2. Элементарные функции

Предел последовательности

1. Понятие сходимости
2. Существование предела монотонной ограниченной последовательности
3. Действия над сходящимися последовательностями
4. Числовые ряды

Предел функции и непрерывность

1. Определения предела функции
2. Бесконечно большая величина
3. Расширение понятия предела
4. Бесконечно малая величина
5. Сравнение бесконечно малых
6. Основные теоремы о пределах
7. Непрерывность функции
8. Точки разрыва функции

Техника вычисления пределов

1. Непосредственное вычисление пределов
2. Раскрытие неопределенности вида 0/0
3. Раскрытие неопределенности вида ∞/∞
4. Раскрытие неопределенностей вида ∞ - ∞ и 0х∞
5. Раскрытие неопределенностей вида 1^∞, 0^∞ и 0⁰
6. Компьютерное вычисление пределов

Использование понятий функции и предела в социально-экономической сфере

1. Функции в социологии и психологии
2. Функции в экономике
3. Пределы в социально-экономической сфере
4. Непрерывное начисление процентов
5. Паутинообразная модель рынка и ряд

Дифференциальное исчисление

1. Задачи, приводящие к понятию производной
2. Определение производной
3. Схема нахождения производной
4. Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Основные теоремы о производных

1. Правила дифференцирования
2. Производные основных элементарных функций
3. Таблица производных
4. Логарифмическая производная
5. Производная функции, заданной параметрически
6. Производная неявной функции
7. Производная высших порядков
8. Теорема о конечном приращении и ее следствия
9. Формула Тейлора

Исследование функций

1. Признаки монотонности функции
2. Экстремум функции
3. Достаточные условия существования экстремума
4. Разыскание оптимальных значений функций
5. Выпуклость функции. Точки перегиба
6. Асимптоты графика функции
7. Исследование функции
8. Построение графика функции на компьютере

Применение дифференциального исчисления в социально-экономической сфере

1. Предельные величины в экономике
2. Использование логарифмической производной в экономике
3. Эластичность
4. Принцип акселерации
5. Экономия ресурсов

Интегральное исчисление

1. Неопределенный интеграл
2. Свойства неопределенного интеграла
3. Непосредственное интегрирование
4. Метод замены переменной
5. Метод интегрирования по частям
6. Компьютерное интегрирование

Определенный интеграл

1. Исторические сведения
2. Понятие определенного интеграла
3. Геометрический смысл интеграла
4. Интеграл в социально-экономической сфере
5. Свойства определенного интеграла
6. Формула Ньютона-Лейбница
7. Методы интегрирования
8. Геометрические приложения определенного интеграла
9. Приближенное вычисление определенных интегралов
10. Несобственные интегралы

Применение интегрального исчисления в социально-экономической сфере

1. Вычисление объема выпущенной продукции
2. Степень неравенства в распределении доходов
3. Прогнозирование материальных затрат
4. Прогнозирование объемов потребления электроэнергии
5. Задача дисконтирования денежного потока

Функции многих переменных

1. Понятие функции многих независимых переменных
2. Область определения, предел и непрерывность функции двух переменных
3. Частные производные первого порядка
4. Полный дифференциал
5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
6. Производная сложной функции
7. Производная по направлению. Градиент
8. Частные производные высших порядков
9. Производная неявной функции от одной переменной
10. Двойной и тройной интегралы
11. Компьютерные вычисления частных производных и кратных интегралов

Оптимизационные задачи

1. Экстремум функции двух переменных
2. Экстремум функции многих переменных
3. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в заданной замкнутой области
4. Условный экстремум
5. Метод наименьших квадратов
6. Компьютерное вычисление экстремумов и поиск параметров сглаживающей функции

Использование понятия функции многих переменных в социально-экономической сфере

1. Линейно-однородные производственные функции
2. Многофакторные производственные функции и предельная производительность
3. Повышение урожайности
4. Рост производства и частные производные
5. Линии постоянного выпуска и предельные показатели экономики
6. Экономический смысл дифференциала производственной функции
7. Максимизация прибыли от производства товаров разных видов
8. Экономия ресурсов

Дифференциальные и разностные уравнения

1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
4. Линейные дифференциальные уравнения
5. Уравнение Бернулли

Дифференциальные уравнения высшего порядка

1. Основные понятия
2. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка
3. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
4. Линейные неоднородные второго порядка с постоянными коэффициентами
5. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
6. Решение дифференциальных уравнений с помощью пакета Maple

Системы дифференциальных уравнений

1. Основные понятия
2. Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
3. Решение систем дифференциальных уравнений с помощью компьютерной математики

Разностные уравнения

1. Основные понятия
2. Решение разностных уравнений

Применение аппарата дифференциальных и разностных уравнений в социально-экономической сфере

1. Естественный рост и задача Бернулли о кредитовании
2. Рост населения Земли и истощение ресурсов
3. Рост денежного вклада в Сбербанке
4. Инфляция и правило величины 70
5. Рост выпуска дефицитной продукции
6. Рост в социально-экономической сфере с учетом насыщения
7. Выбытие фондов
8. Рост производства с учетом инвестиций
9. Модель экономического цикла Самуэльсона-Хикса
10. Паутинообразная модель рынка
11. Модель социального взаимодействия Саймона
12. Динамическая модель Леонтьева

Литература

---

скачать учебное пособие: Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М. (2.79 Мбайт)

---