Высшая математика для экономистов и менеджеров - Лобкова Н. И.

Год выпуска: 2018

Автор: Лобкова Н. И., Максимов Ю. Д., Хватов Ю. А.

Жанр: Высшая математика

Формат: PDF

Качество: OCR

Количество страниц: 520

Описание: В учебном пособии вводятся и разъясняются все базисные понятия и методы решения основных задач на примерах, как правило, задач, связанных с экономикой (управлением). Доказательства большей части теорем опущены. При этом основное внимание уделено разьяснению сути (смысла) определений, правил, теорем и их геометрической и экономической интерпретации.

Много внимания в пособии уделено изложению разделов «Теория вероятностей» и «Математическая статистика». Отдельная глава отведена знакомству с элементами теории массового обслуживания. По каждому разделу приводятся задачи, контрольные вопросы и тесты для оценки (самооценки) уровня сформировапности математической компетенции учащегося.
Учебное пособие «Высшая математика для экономистов и менеджеров» предназначено для студентов бакалавриата и специалитета, обучающихся по направлениям подготовки и специальностям, входящим в УГС: «Экономика и управление», «Сервис и туризм».

В современных условиях требования к уровню подготовки по дисциплинам математического цикла в вузах экономического профиля существенно выросли.
Высшая школа должна обеспечить математическую подготовку (компетентность) на уровне, который позволяет использовать математические знания для решения различного рода прикладных, фундаментальных задач и с разработкой математических моделей, связанных с экономикой и с управлением (менеджментом).
При уменьшении числа часов, отводимых в учебных планах на изучение курса, необходимы новые подходы к отбору учебного материала, к увеличению обьёма самостоятельной работы с возможностью самоконтроля уровня усвоения полученных знаний.
Данное учебное пособие создано на основе серии опорных конспектов, изданных в Санкт-Петербургском политехническохМ университете в 2000 - 2015 годах и на материалах курсов лекций, читаемых авторами в СПбГПУ студентам направлений «Экономика» и «Менеджмент».
Учебное пособие содержит последовательное изложение разделов курса высшей математики для экономических направлений подготовки бакалавров.
В пособии вводятся и разъясняются все базисные понятия и методы решения основных задач, как правило, связанных с экономикой. Доказательства большей части теорем опущены. При этом основное внимание уделено разъяснению сути (смысла) определений, правил, теорем и их геометрической, физической и экономической интерпретации.
По каждому разделу приводятся задачи, контрольные вопросы и тесты для оценки (самооценки) уровня сформированное™ математической компетенции студентов - будущих экономистов (менеджеров). При этом часть задач имеет экономическое содержание. Разделы указаны в том порядке, который рекомендуется при изучении курса математики.
В пособии много внимания уделено 180 стр.) изложению разделов «Теория вероятностей» и «Математическая статистика». Это связано с тем, что указанные разделы являются базовыми, обеспечивающими приложения в задачах, связанных с экономикой и с управлением. Особенно велика роль статистики в решении задач управления производством и социальными группами людей, ибо без знания состояния управляемого объекта разумное управление этим объектом невозможно. Эти знания об объекте несут обработанные и осмысленные статистические данные.
Настоящий курс ориентирован на студентов, изучающих математику в объёме и на уровне, предназначенном для бакалавров экономических специальностей и направлений. Но содержание учебника несколько выходит за рамки программ для подготовки бакалавров экономических направлений в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта ФГОС-3+. Эти главы и параграфы помечены знаком * (но не всегда!). Такой подход связан с тем, что результативность современной системы образования не должна ограничиваться только объёмом приобретённых знаний, но должна также решать
задачу формирования компетенций в области теории (знания) и компетенций как готовности и необходимости применять полученные знания (умения и навыки) для эффективного решения различных экономических и управленческих задач.
Учебное пособие может востребовано студентами старших курсов, магистрами, аспирантами для восстановления в памяти нужных понятий при изучении последующих разделов курса и других дисциплин, опирающихся на математику.
В пособие входят «Введение» и 11 разделов.

1. Основы линейной алгебры.
2. Аналитическая геометрия.
3. Введение в математический анализ.
4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
5. Комплексные числа, многочлены, рациональные дроби.
6. Интегральное исчисление функций одной переменной.
7. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Двойные интегралы.
8. Дифференциальные уравнения.
9. Числовые и функциональные ряды.
10. Теория вероятностей.
11. Математическая статистика.

Нумерация формул, таблиц, рисунков в каждом параграфе двухпозиционная, отражает номер параграфа и порядковый номер по параграфу. Начало и конец доказательства, при выводе формулы или решения примера отмечаются знаками ► ◄. Материал, необязательный для изучения помечен знаком *.
Разделы указаны в том порядке, который рекомендуется при изучении курса математики.

Содержание учебного пособия

«Высшая математика для экономистов и менеджеров»

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

1. Определители и системы линейных уравнений
   • Системы линейных уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса
   • Определители второго и третьего порядков
   • Определители высших порядков
2. Матрицы и действия с ними
   • Линейные операции с матрицами и их свойства
   • Операция умножения матриц и её свойства
   • Операция транспонирования матриц и её свойства
   • Обратная матрица
   • Понятие о ранге матрицы. Ранг ступенчатой матрицы
   • Линейная зависимость и независимость системы матриц-строк (столбцов). Теорема о базисном миноре
3. Общая теория линейных систем
   • Крамеровские системы линейных уравнений
   • Решение произвольных систем линейных уравнений
   • Модель межотраслевого баланса
4. Задания для проверки качества усвоения раздела 1
   • Задачи для самостоятельной работы
   • Контрольные вопросы к разделу 1
   • Тесты по разделу 1

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1. Геометрические вектора и операции с ними
   1. Понятие вектора. Равные векторы
   2. Линейные операции с векторами
   3. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Базис множества векторов. Прямоугольная система координат
   4. Скалярное произведение двух векторов
2. Прямая на плоскости
   • Понятие об уравнении плоской линии. Алгебраические линии. Теорема об инвариантности порядка
   • Различные виды задания прямой на плоскости
   • Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Вычисление угла между двумя прямыми
   • Расстояние от точки до прямой на плоскости
3. Плоскость и прямая в пространстве
   • Понятие об уравнении поверхности. Алгебраические поверхности. Теорема об инвариантности порядка
   • Плоскость как поверхность первого порядка. Общее уравнение плоскости
   • Расстояние от точки до плоскости
   • Уравнения линии в пространстве
   • Различные виды уравнений прямой в пространстве
   • Взаимное расположение прямой и плоскости
4. Кривые второго порядка
   • Общее уравнение линии второго порядка. Классификация линий второго порядка
   • Эллипс и его свойства
   • Гипербола и её свойства
   • Парабола и её свойства
   • Линейные и квадратичные зависимости в моделях экономики
5. Поверхности второго порядка
   1. Общее уравнение поверхности второго порядка Классификация поверхностей второго порядка
   2. Эллипсоид
   3. Гиперболоиды
   4. Конус второго порядка
   5. Параболоиды
   6. Цилиндры второго порядка
   7. Поверхности вращения второго порядка
6. Задания для проверки качества усвоения раздела 2
   • Задачи для самостоятельной работы
   • Контрольные вопросы к разделу 2
   • Тесты по разделу 2

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1. Множества и функции
   • Множества и операции над ними
   • Логические символы. Прямая, обратная и противоположная теоремы. Необходимые и достаточные условия
   • Множество вещественных чисел R и его свойства
   • Некоторые подмножества из R
   • Модуль вещественного числа и его свойства
   • Ограниченные и неограниченные числовые множества. Точные грани числовых множеств
   • Понятие числовой функции. График функции. Способы задания функции. Классификация функций
   • Элементарные функции
   • Функции в экономике
2. Предел функции
   • Числовая последовательность. Классификация последовательностей
   • Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности
   • Определение предела функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции на бесконечности
   • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
   • Свойства функций, имеющих предел
   • Замечательные пределы
   • Раскрытие неопределённостей. Примеры
   • Сравнение бесконечно малых функций.. Символ «о» и его свойства
   • Эквивалентные бесконечно малые функции, их свойства. Главная часть бесконечно малой функции
3. Непрерывность функции
   • Понятие функции, непрерывной в точке. Односторонняя непрерывность. Непрерывность функции на промежутке
   • Классификация точек разрыва непрерывности
   • Свойства функций, непрерывных в точке
   • Свойства функций, непрерывных на отрезке
   • Непрерывность элементарных функций
4. Задания для проверки усвоения раздела 3
   • Задачи для самостоятельной работы
   • Контрольные вопросы к разделу 3
   • Тесты по разделу 3

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. Производная и дифференциал
   • Производная функции в точке. Односторонние и бесконечные производные
   • Геометрический и механический смысл производной. Задача о производительности труда
   • Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал
   • Геометрический и механический смысл дифференциала
   • Правила дифференцирования
   • Производная сложной и обратной функции. Свойство инвариантности формы дифференциала
   • Производные основных элементарных функций. Таблица производных
   • Производные неявных функций одной переменной
   • Производные высших порядков
   • Дифференциалы высших порядков. Нарушение свойства инвариантности
   • Эластичность функций в экономике
2. Основные теоремы дифференциального исчисления
   • Определение экстремума. Теорема Ферма
   • Теорема Ролля
   • Теорема Коши
   • Теорема Лагранжа
   • Правило Лопиталя
   • Формула Тейлора для многочлена
   • Формула Тейлора для произвольной функции f (х)
3. Исследование функций и построение графиков
   • Условие постоянства функции на промежутке
   • Достаточный признак строгой монотонности
   • Необходимые условия существования экстремума. Критические точки
   • Достаточные условия существования экстремума
   • Направление выпуклости и точки перегиба графика функции
   • Асимптоты графика функции
   • Общий план исследования функции, и построение её графика
   • Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке
4. Задания для проверки качества усвоения раздела 4
   • Задачи для самостоятельной работы
   • Контрольные вопросы по разделу 4
   • Тесты по разделу 4

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ

1. Комплексные числа
   1. Понятие комплексного числа. Действия с комплексными числами, представленными в алгебраической форме
   2. Модуль и аргумент комплексного числа
   3. Действия с комплексными числами, представленными в тригонометрической форме
   4. Комплексная степень числа е. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа
2. Алгебраические многочлены и рациональные алгебраические дроби
   • Условие тождественного равенства двух многочленов
   • Разложение алгебраического многочлена на линейные множители. Число корней многочлена
   • Понятие кратного корня. Признак кратности корня
   • Разложение вещественных алгебраических многочленов на неприводимые множители на множестве вещественных чисел
   • Рациональные алгебраические дроби. Основные понятия
   • Теорема о разложении правильной рациональной алгебраической дроби на простейшие дроби
3. Задания для проверки качества усвоения раздела 5
   • Задачи для самостоятельной работы
   • Контрольные вопросы к разделу 5
   • Тесты по разделу 5

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. Первообразная и неопределённый интеграл
   • Первообразная. Неопределённый интеграл
   • Свойство линейности неопределённого интеграла
   • Интегрирование по частям в неопределённом интеграле
   • Замена переменной в неопределённом интеграле
2. Интегрирование основных классов элементарных функций
   • Интегрирование рациональных функций
   • Интегрирование функций, зависящих рационально от синуса и косинуса
   • Интегрирование иррациональных функций
   • Понятие о неберущихся интегралах
3. Определённый интеграл, его свойства и методы вычисления
   • Понятие определённого интеграла
   • Свойства определённого интеграла
   • Теорема о среднем для определённого интеграла
   • Определённый интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу. Формула Ньютона - Лейбница
   • Интегрирование по частям в определённом интеграле
   • Замена переменной в определённом интеграле
4. Несобственные интегралы
   • Интегралы по бесконечному промежутку (несобственные интегралы первого рода)
   • Простейшие свойства несобственных интегралов первого рода
   • Интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода)
   • Свойства несобственных интегралов второго рода
5. Приложения определённого интеграла
   • Вычисление площади фигуры
   • Вычисление объёма тела через площади его сечений
   • Вычисление длины дуги кривой
   • Приложение определённого интеграла к экономическим задачам
6. Задания для проверки качества усвоения раздела 6
   • Задачи для самостоятельной работы
   • Контрольные вопросы к разделу 6
   • Тесты по разделу 6

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1. Понятие функции нескольких переменных. Предел. Непрерывность
   • Пространство Rm и некоторые его подмножества
   • Открытые, связные, замкнутые, ограниченные..множества в пространстве Rm.
   • Понятие функции нескольких переменных
   • Предел и непрерывность функции нескольких переменных
2. Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных, их приложения
   • Частные производные
   • Частные производные высших порядков
   • Дифференцируемость функции нескольких переменных. Полный дифференциал
   • Производная по направлению. Градиент
   • Производные сложной функции. Инвариантность формы полного ифференциала. Формулы для вычисления дифференциалов
   • Дифференциалы высших порядков. Нарушение свойства инвариантности формы.
   • Неявные функции, определяемые одним уравнением. Теорема существования. Вычисление производных
3. Экстремумы функции нескольких переменных
   • Понятие экстремума функции нескольких переменных. Необходимые условия существования экстремума
   • Квадратичные формы
   • Достаточные условия существования экстремума. Случай функции трех переменных
   • Условные экстремумы
   • Отыскание наибольших и наименьших значений функции
4. Двойной интеграл
   • Понятие двойного интеграла
   • Геометрический и механический смысл двойного интеграла
   • Свойства двойных интегралов
   • Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах
   • Примеры использования двойного интеграла
5. Задания для проверки качества усвоения раздела 7
   • Задачи для самостоятельной работы
   • Контрольные вопросы к разделу 7
   • Тесты по разделу 7

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Дифференциальные уравнения первого порядка
   • Дифференциальные уравнения. Основные понятия
   • Задача и теорема Коши для уравнения г' = f(x,y). Общее, частное и особое решения
2. Дифференциальные уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах
   • Уравнения с разделяющимися переменными
   • Однородные уравнения
   • Линейное уравнение 1-го порядка. Уравнение Бернулли
   • Примеры дифференциальных уравнений первого порядка, используемых в экономике
3. Дифференциальные уравнения высших порядков
   • Задача и теорема Коши для дифференциального уравнения n-го порядка. Общее и частное решение
   • Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
4. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
   • Основные понятия
   • Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
   • Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
   • Пример решения задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка
5. Системы линейных дифференциальных уравнений
   • Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений
   • Интегрирование системы дифференциальных уравнений путём исключения неизвестных функций
6. Задания для проверки качества усвоения раздела 8
   • Задачи для самостоятельной работы
   • Контрольные вопросы к разделу 8
   • Тесты по разделу 8

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

1. Числовые ряды. Основные понятия и свойства
   • Числовой ряд, его сходимость, сумма
   • Необходимое условие сходимости ряда
   • Основные свойства сходящихся рядов
2. Сходимость числовых рядов с неотрицательными членами
   • Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами
   • Признаки сравнения для рядов с неотрицательными членами
   • Интегральный признак Коши
   • Признак Даламбера и радикальный признак Коши
3. Сходимость знакопеременных рядов
   • Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
   • Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
   • Признаки сходимости Дирихле и Абеля
4. Функциональные ряды. Степенные ряды
   • Понятие функционального ряда, его области сходимости
   • Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимости
   • Свойства степенных рядов на интервале сходимости
   • Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора
   • Разложение функций в ряды Маклорена
   • Приложения степенных рядов
5. Задания для проверки качества усвоения раздела 9
   • Задачи для самостоятельной работы
   • Контрольные вопросы к разделу 9
   • Тесты по разделу 9

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. Алгебра событий
   • Предмет теории вероятностей
   • Классификация событий
   • Действия над событиями
2. Вероятность события
   • Относительная частота события и ее свойства
   • Статистическое определение вероятности
   • Аксиоматическое определение вероятности
   • Классическое определение вероятности
   • Геометрическое определение вероятности
   • Субъективное определение вероятности
3. Комбинаторика
   • Комбинаторный принцип «умножения»
   • Размещения
   • Перестановки
   • Сочетания
   • Размещения с повторениями
4. Алгебра вероятностей
   • Условная вероятность
   • Правило умножения вероятностей
   • Независимость событий. Правило умножения вероятностей взаимно независимых событий
   • Правила сложения вероятностей
   • Формула полной вероятности и формула Байеса
   • Схема Бернулли проведения независимых испытаний. Биномиальная вероятность
   • Приближённая формула Пуассона для вычисления биномиальной вероятности
5. Одномерная случайная величина
   • Определение случайной величины
   • Дискретная случайная величина
   • Числовые характеристики дискретной случайной величины
   • Производящая функция (вероятностей)
   • Биномиальное, Пуассона, геометрическое распределения
   • Непрерывная случайная величина
   • Числовые характеристики непрерывной случайной величины
   • Нормальное, показательное, равномерное распределения
6. Двумерная случайная величина
   • Двумерная случайная величина. Функция распределения
   • Дискретная двумерная случайная величина. Таблица распределения
   • Непрерывная двумерная случайная величина. Плотность вероятности
   • Примеры двумерных непрерывных распределений
   • Зависимость и независимость двух случайных величин
   • Математическое ожидание функции двумерной случайной величины
   • Корреляционный момент и коэффициент корреляции
7. n-мерная случайная величина
   • Основные определения
   • Числовые характеристики n-мерной случайной величины
   • Полиномиальное и n-мерное нормальное распределения
8. Предельные теоремы
   • Неравенства Маркова и Чебышёва
   • Теоремы Чебышёва и Бернулли. Сходимость по вероятности
   • Центральная предельная теорема для случая одинаково распределённых слагаемых
9. Введение в теорию массового обслуживания
   • Системы массового обслуживания
   • Процесс рождения и гибели
   • Система массового обслуживания с отказами
   • Система массового обслуживания с ожиданием и с неограниченной очередью
10. Задания для проверки качества усвоения раздела 10
    • Задачи для самостоятельной работы
    • Контрольные вопросы к разделу 10
    • Тесты по разделу 10
    • Ответы к задачам для самостоятельной работы

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

1. Описательная статистика
   • Генеральная совокупность. Выборка. Выбор
   • Вариационный и статистический ряды
   • Выборочная функция распределения
   • Выборочные числовые характеристики
   • Группированный статистический ряд. Гистограмма
2. Точечное оценивание числовых характеристик и параметров распределения генеральной совокупности
   • Понятие точечной статистической оценки. Требование к оценкам
   • Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии
   • Оценки для ти ов случае нормального распределения
   • Метод моментов получения оценок параметров генерального распределения
   • Метод максимального правдоподобия получения оценок параметров генерального распределения
3. Интервальное оценивание числовых характеристик и параметров распределения генеральной совокупности
   • Доверительный интервал. Точность и надёжность оценки
   • Точность и надежность оценивания вероятности события с помощью его относительной частоты при большом объёме выборки
   • Доверительный интервал для математического ожидания нормальной генеральной совокупности
   • Доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения о нормальной генеральной совокупности
   • Доверительный интервал для математического ожидания любой генеральной совокупности при большом объеме выборки
   • Доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения о любой генеральной совокупности при большом объёме выборки
4. Проверка статистических гипотез
   • Виды статистических гипотез
   • Критерий значимости. Общая схема проверки статистических гипотез
   • Ошибки первого и второго рода. Односторонний и двусторонний критерии
   • Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей
   • Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей
   • Проверка гипотезы о равенстве вероятностей двух событий с помощью доверительного интервала при больших объёмах выборок
   • Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности
5. Корреляционный и регрессионный анализ
   • Корреляционный анализ
   • Общие сведения о регрессионном анализе
   • Метод наименьших квадратов
   • Статистический анализ эмпирической простой линейной регрессии
6. Задания для проверки качества усвоения раздела 11
   • Задачи для самостоятельной работы
   • Контрольные вопросы по разделу 11
   • Тесты по разделу 11
   • Ответы к задачам для самостоятельной работы

ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ

Справочник по одномерным непрерывным распределениям

• Распределения с плотностью, отличной от нуля на всей оси
• Распределения с плотностью, отличной от нуля на полуоси
• Распределения, отличные от нуля на конечном промежутке

скачать учебное пособие: Высшая математика для экономистов и менеджеров - Лобкова Н. И.