Математический аппарат экономического моделирования - Гольштейн Е. Г.

Год выпуска: 1983

Автор: под редакцией Е. Г. Гольштейна

Жанр: экономика

Формат: PDF

Качество: OCR

Количество страниц: 356

Описание: В книге излагаются основные направления развития современного математического аппарата, используемого при анализе экономических объектов, процессов и механизмов. В настоящее время арсенал математических методов экономического моделирования необычайно широк и многообразен. В него естественно включаются многочисленные разделы математики: математическое программирование, теория вероятностей и математическая статистика, теория игр, оптимальное управление и др. Из всего этого многообразия в монографию включены основные разделы математического аппарата экономического моделирования, в развитие которых сотрудники ЦЭМИ АН СССР внесли значительный вклад.

Большое внимание уделяется методам математического программирования, а также математическому анализу абстрактных и прикладных экономических моделей: моделей процессов ценообразования, экономического роста, спроса и потребления и т. п. Существенная часть тома посвящена описанию современных статистических методов экономического моделирования.
Книга «Математический аппарат экономического моделирования» предназначена для специалистов, занимающихся применением математических методов в экономических исследованиях.

Математика издавна находила применение в экономических исследованиях. Но еще 40—50 лет назад математический инструментарий экономики был крайне беден: элементарная математика, основы математического анализа, элементы линейной алгебры, теория вероятностей и математической статистики — вот и все, что привлекалось для экономических разработок. Перелом наступил на рубеже сороковых годов нашего столетия, когда математический аппарат экономики стал интенсивно обогащаться, причем не только за счет привлечения других разделов математики, но и путем создания новых математических дисциплин.
Одна из причин этого бурного развития — резкое усложнение задач, возникающих в процессе управления экономическими объектами, что особенно характерно для плановой экономики. Не удивительно поэтому, что родиной линейного программирования стал СССР. Другая причина связана с началом развития вычислительной техники, без которой никакие математические методы не смогли бы помочь в решении реальных задач экономического происхождения. Интересно отметить, что процесс пополнения математического аппарата экономики оказал влияние и на математическую науку. Теория и методы оптимизации, развитие которых было связано именно с экономическими приложениями, получили широкое применение в вариационном исчислении, конструктивной теории функций, теории управления динамическими системами, математической статистике.
В настоящее время для экономического анализа привлекаются методы вариационного исчисления и оптимального управления, современных разделов теории вероятностей и математической статистики, теории игр и теории автоматов. Ведущую роль в экономических исследованиях играют методы решения условных экстремальных задач, составляющих предмет математического программирования.
В рамках одной книги невозможно охватить все многообразие математических методов, применяемых в экономике. Отбор материала, вошедшего в этот сборник, определялся в какой-то степени личными интересами авторского коллектива. Однако при этом, естественно, учитывались важность того или иного направления, значительность результатов, полученных в нем за последние годы, и, наконец, перспективность этого направления для моделирования экономических объектов и процессов. Не претендуя на полноту, даже в рамках выбранных направлений, мы пытались отразить современное состояние и тенденции развития соответствующих математических разделов.
Стиль изложения материала разнороден, однако при написании данного сборника все авторы преследовали единую, заранее намеченную цель, которая, по их замыслу, должна определить предполагаемый круг читателей. В соответствии с этой целью книга предназначается для математиков, либо лиц, достаточно хорошо владеющих общим математическим аппаратом, которые хотели бы познакомиться с современным состоянием описанных здесь разделов прикладной математики, при этом не предполагается предварительное их изучение. Специалисты в области приложений математики в экономике и других социальных науках смогут найти здесь много полезных сведений как по смежным разделам, так, возможно, и по узкой специальности. Для того, чтобы материал книги был по возможности более информативен, а также доступен и интересен для широкого круга читателей, почти все результаты приводятся здесь без доказательств, с выделением их идейного содержания.
Публикуемый материал разбит на три раздела: математическое программирование; математическая экономика; прикладная статистика.
Математическое программирование, некоторым направлениям которого посвящены шесть глав первого раздела, изучает теорию и методы решения задач на нахождение экстремума функций (показателя качества решения) при ограничениях в форме уравнений и неравенств. Именно такие задачи с большим числом переменных возникают при планировании и управлении экономическими процессами.
Математическое программирование возникло в конце 30-х годов. В 1939 г. Л. В. Канторович в работе «Математические методы организации и планирования производства» (издание ЛГУ) заложил основы линейного программирования — раздела математического программирования, получившего в дальнейшем наибольшее развитие. Линейные модели оптимизации оказались эффективным инструментом математического моделирования экономики и оптимального планирования. Методы линейного программирования наряду с оптимальным планом (оптимальным решением задачи) дают систему согласованных с ним показателей (двойственных переменных), позволяющих математически обосновать исчисление многих стоимостных характеристик экономической системы (цены, плата за фонды, рента за эксплуатацию природных ресурсов и т. д.).
Теории и методам математического программирования посвящены многочисленные монографии (отечественные и переводные), поэтому здесь освещены только некоторые направления математического программирования, которые представляются достаточно перспективными и, по-видимому, мало знакомы широкому кругу специалистов.
Вопросам алгоритмического и программного обеспечения методов линейного и нелинейного программирования, которые до сих пор недостаточно освещены в литературе, посвящена глава первая. В ней сделана попытка продемонстрировать тот факт, что алгоритмизация известных методов не является чисто механической работой, а зачастую требует интересных самостоятельных исследований, приводя в ряде случаев к разработке нового математического аппарата. Этот аспект представляется очень важным для практических приложений математического программирования.
Основным инструментом для решения задач линейного программирования до сих пор являются так называемые конечные методы, и в частности, симплексный метод (см. § 1 главы первой). Однако находят все более широкое применение итерационные методы, развиваемые первоначально как методы выпуклого программирования. Итерационным методам, основанным на использовании модифицированных функций Лагранжа, посвящена глава вторая. В главе третьей описываются итерационные методы игрового типа и их приложения к решению отраслевых задач экономики, содержащих целочисленные переменные.
Теории сложности задач выпуклого программирования посвящена глава четвертая. Результаты, описанные в ней, представляют не только теоретический интерес. Приведенные в § 3—5 главы четвертой новые методы выпуклого программирования, реализующие так называемые верхние оценки сложности, являются достаточно перспективными для решения задач соответствующих классов. Интересно отметить, что один из них —  метод эллипсоидов — был использован Л. Г. Хачияном для доказательства полиномиальной разрешимости задачи линейного программирования.
Большое число задач, встречающихся в экономических исследованиях, описываются оптимизационными моделями, содержащими дискретные переменные. Исследования таких задач и методов их решения составляют предмет дискретного (целочисленного) программирования. Ряд новых направлений в этой области описан в главе пятой. Это теория сложности дискретных задач (§1), описание новых классов эффективно решаемых комбинаторных задач (§ 2, 3), двойственный подход (§ 4) и теория двойственности (§ 5) в целочисленном линейном программировании, новые алгоритмы динамического программирования, основанные на одновременном решении прямой и двойственной задач целочисленного линейного программирования (§ 6).
Математическое программирование в широком понимании помимо конечномерных включает задачи оптимизации в функциональных пространствах. Для их изучения используются методы выпуклого анализа. Обзору основных результатов выпуклого анализа и его использованию для исследования некоторых экстремальных задач (как выпуклых, так и невыпуклых) посвящена глава шестая.
В разделе втором приведены результаты исследования моделей экономики с помощью современных математических методов. Здесь собраны работы, отражающие, в основном, последние результаты. Сюда не вошли материалы, включенные в другие сборники.
Усложнение экономических моделей, отражение в них собственных интересов отдельных хозяйственных ячеек и социальных групп, учет динамики, стохастических факторов, эффективное отражение реальных процессов ценообразования потребовало привлечения новых методов. Среди подобных проблем прежде всего следует назвать изучение условий сбалансированности и эффективности плановых решений, изучение свойств плановых траекторий, в частности, их устойчивости, связь процессов планирования и ценообразования при их разделенности во времени.
Этим вопросам и посвящены материалы настоящего раздела, включающего четыре главы.
В § 1 главы первой рассматривается частная проблема построения критерия оптимального функционирования экономики на основе статистической информации об общественных предпочтениях. Если результаты сравнения пар продуктов по предпочтительности не зависят от наличия остальных, то общественная полезность оказывается аддитивной функцией и для ее приближенного построения достаточно информации об п кривых безразличия, определяющих заменимость пар продуктов.
Традиционным объектом математической экономики является модель обмена. Применительно к социалистической экономике результаты ее исследования проливают свет на процессы, протекающие в сфере распределения. В § 2 исследуются проблемы устойчивости моделей обмена по Гейлу, а также сходимость процессов регулирования цен к ценам плановой сбалансированности.
Результаты § 3 о представлении агрегированных функций избыточного спроса имеют собственно математический интерес. Они позволяют оценить трудности исследования устойчивости процессов регулирования цен по спросу и предложению.
В § 1 главы второй изучаются свойства оптимальных траекторий в динамической модели планирования. С помощью уравнения Беллмана получен ряд теорем о магистрали, характеризующих асимптотические свойства оптимальных траекторий.
§ 2 посвящен обзору результатов, лежащих на стыке теории экономической динамики и теории равновесных моделей. В предложенной модели поведение потребителей зависит лишь от текущих цен и доходов, а производственный блок стремится к максимизации суммарной дисконтированной выручки. При некоторых предположениях установлено существование динамического равновесия.
В § 3 главы второй рассматривается модификация модели равновесия, отражающая плановый характер социалистической экономики. В этой модели система общественных предпочтений не связана прямо со сложившимися предпочтениями отдельных групп населения. Наличие независимых общественных предпочтений порождает двойную систему цен: цены для производителя и для потребителя. Эти цены связаны между собой посредством налога с оборота.
В ряде задач планирования приходится учитывать наличие случайных факторов, оказывающих существенное влияние на ход выполнения планов и порождающих необходимость корректировки плановых заданий. К числу таких факторов относятся прежде всего реализация научно-технических прогнозов и природно-климатические условия. В главе третьей строятся вероятностные модели экономической динамики и равновесного роста. В § 1 дается краткий обзор соответствующих результатов в детерминированном случае, в § 2 устанавливается существование эффективных траекторий и стимулирующих цен, а также теоремы о магистрали для стохастического аналога модели Неймана. В § 3 переносятся на стохастический случай некоторые результаты, описанные в § 2 главы второй.
В § 1 главы четвертой рассматривается модель ценообразования, в которой структура непроизводственного потребления фиксирована, критерий выбора оптимального плана формируется под воздействием цен, а сами цены определяются сложившимися ранее приведенными затратами. В § 2 рассмотрена иная модель планирования—ценообразования. В ней поведение потребителей описывается функцией спроса, а задачей производителя в каждом цикле является максимальное удовлетворение потребностей при фиксированных ценах. Цены регулируются по затратам.
Раздел третий посвящен методам статистического анализа массивов социально-экономической информации и вероятностно-статистическому моделированию в экономике. В процессе прохождения дистанции от момента успешного завершения разработки математического метода до момента эффективного его использования при решении практических задач математику — прикладнику приходится проникать в сущность, задач и определять допущения, на которых строится математический метод; разрабатывать реализуемые вычислительные алгоритмы и программное обеспечение с учетом специфики исходной информации. Понятийный аппарат, методы и результаты, позволяющие проходить эту дистанцию, вместе с этапом разработки самого математического метода и составляют главное содержание прикладных методов теории вероятностей и математической статистики. Основные проблемы, которые стоят перед исследователем, пытающимся извлечь научные или практические выводы с помощью статистической обработки имеющейся у него социально-экономической информации, являются следующими.

1. Необходимость учета многомерности и стохастичности исследуемой статистической информации и, в частности, необходимость выявления структуры статистических взаимосвязей исследуемых показателей.
2. Умение работать с разнотипными показателями, т. е. подвергать одновременной автоматизированной обработке показатели, среди которых могут быть и количественные, и порядковые (ординальные), и классификационные (номинальные).
3. Желательность разработки таких методов статистического анализа данных, которые приводили бы к устойчивым статистическим выводам, т. е. к выводам, практически не меняющимся при незначительных искажениях обрабатываемых данных или исходных модельных допущений.
4. Необходимость эффективного использования современных ЭВМ, и, в частности, развитых систем (пакетов, библиотек) программ по статистической обработке данных.
5. Умение подбирать адекватные вероятностно-статистические модели для описания реальных социально-экономических механизмов и явлений, генерирующих обрабатываемые статистические данные.

Некоторые результаты исследований по этим проблемам отражены в данном разделе. Первые две главы этого раздела связаны с проблемами 1—4. Главы третья и четвертая содержат описание актуальных, с точки зрения социально-экономических приложений, вероятностных моделей и их свойств, т. е. относятся к проблеме 5. В главе третьей речь идет, в частности, о марковских моделях, используемых при исследовании различных видов движения населения; в главе четвертой — о моделях
суммирования случайных величин, используемых в ситуациях, когда исследователя интересует поведение некоторой стохастической величины, являющейся функцией от большого числа случайных аргументов. Более подробные аннотации содержания этих глав даются в начале каждой из них.

Содержание книги

«Математический аппарат экономического моделирования»

Математическое программирование

ВОПРОСЫ АЛГОРИТМИЧЕСКОГО И ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ ЭКОНОМИКИ

• Некоторые алгоритмы линейного программирования
• Транспортные и двухкомпонентные задачи
• Задача построения максимального потока
• Задачи нелинейного программирования и их программное обеспечение

МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА

• Слабые модифицированные функции Лагранжа (СМФЛ)
• Теоремы двойственности для СМФЛ
• Модифицированные функции Лагранжа (МФЛ)
• СМФЛ и МФЛ с устойчивыми по исходным переменным седловыми множествами
• Экономическая интерпретация
• МФЛ, порождающие гладкие двойственные задачи
• Двойственные методы выпуклого программирования, основанные на использовании МФЛ
• Модификация монотонных отображений
• Седловой градиентный метод и МФЛ
• Модифицированные функции Лагранжа и устранение разрыва двойственности в невыпуклом программировании

ИТЕРАТИВНЫЕ МЕТОДЫ В ПРОГРАММИРОВАНИИ И ТЕОРИИ ИГР

• Историческая справка
• Итеративные игровые методы и их приложения
• Опыт применения игровых алгоритмов для решения экономических задач (с учетом целочисленности)

СЛОЖНОСТЬ ВЫПУКЛЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ И ЭФФЕКТИВНЫЕ МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

• Сложность классов экстремальных задач: определения
• Сложность классов выпуклых экстремальных задач: сводка результатов
• Методы с линейной сходимостью
• Методы зеркального спуска
• Эффективный метод решения сильно выпуклых задач

НОВЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ В ДИСКРЕТНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

• Вычислительная сложность дискретных задач
• Об эффективно решаемых задачах
• Комбинаторные задачи с субмодулярными функциями ограничений
• Двойственный подход в целочисленном программировании
• Двойственность в целочисленном программировании
• Обобщенный метод пометок
• Программная реализация метода ветвей и границ

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

• Регулярные интегральные представления субдифференциалов
• Выпуклые функционалы, полунепрерывные снизу по мере, и выпуклые экстремальные задачи в пространствах, суммируемых вектор-функций
• Задачи о перемещении масс и массовая постановка проблемы двойственности выпуклых экстремальных задач
• Невыпуклые экстремальные задачи с операторными ограничениями интегрального типа в пространствах измеримых функций от нескольких переменных: принцип максимума и теорема существования

Математический анализ экономических моделей

ПРЕДПОЧТЕНИЯ И МОДЕЛИ ОБМЕНА

• Построение аддитивной функции полезности
• Процессы обмена в экономиках с переменными запасами и гладким спросом
• Об агрегированных функциях избыточного спроса

МОДЕЛИ РАВНОВЕСИЯ И ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ     

• Объективные функционалы в стационарных моделях экономической динамики
• Равновесный экономический рост
• Равновесные распределения продуктов и трудозатрат при наличии предпочтений на множестве выпусков

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА И РАВНОВЕСИЯ

• Детерминированный случай
• Вероятностная модификация модели фон Неймана-Гейла
• Экономические модели равновесия

МОДЕЛИ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ

• Ценообразование в расширяющейся экономике
• Устойчивость процесса регулирования цен в модели плановой экономики

Методы анализа данных и вероятностно-статистическое моделирование в экономике

МНОГОМЕРНЫЙ СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

• Общая схема анализа социально-экономических структур
• Основные задачи и разделы прикладного многомерного статистического анализа (ПМСА)
• Применения методов и моделей ПМСА в социально-экономических исследованиях

ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА И ЕЕ ПРОГРАММНО-АЛГОРИТМИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

• Общая логическая схема исследования при использовании методов и моделей прикладной статистики
• Экстремальная формулировка основных проблем прикладной статистики
• Структура и содержание пакета программ по прикладному статистическому анализу

МАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ МОБИЛЬНОСТИ НАСЕЛЕНИЯ

• Известные марковские модели движения населения
• Общая модель
• Предположения моделирования
• Предположения факторной модели
• Свойства общей модели
• Экспериментальное уточнение вида функций .

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ СЛУЧАЙНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

• Классы инвариантности; предельные теоремы для сумм и максимумов
• Полиномы от случайных величин, квазиполиномиальные функции

скачать книгу: Математический аппарат экономического моделирования - Гольштейн Е. Г.