Основы стохастической финансовой математики - Ширяев А.Н.

Описание: Материал первого тома, состоящий из четырех глав относится к "Фактам" и "Моделям" финансовой статистики, экономики, математики, инженерии, ...

В первой главе излагются разнообразные факты о финансовых рынках и их функционировании. Были изложены также основные положения ряда классических и неоклассических финансовых теорий, результаты которых помогают пониманию структуры "рационально" устроенных стохастических финансовых рынков и пониманию того, каким должно быть "рациональное" поведение инвесторов, трейдеров, ... на таких рынках. В целом, эта глава, носящая описательный характер, призвана служить введением в финансовую математику и финансовую инженерию.
В четвертой главе приведены результаты статистического анализа распределений вероятностей временных рядов, описывающих эволюцию финансовых цен, индексов, обменных курсов и т. ц. Выявленные свойства ("отклонение от гауссовости" "вытянутость" и "тяжелые хвосты" у плотностей распределений вероятностей величин "возврата", "долгая память" и "высокочастотный" характер в поведении цен и т.п.) помогают построению адекватных моделей динамики финансовых показателей, что особенно важно, если иметь в виду задачи предсказания будущего движения этих показателей.

Вторая и третья главы содержат большой материал относительно разнообразных моделей распределений вероятностей, моделей случайных последовательностей и случайных процессов, многие из которых с успехом используются и в финансовой теории, и в финансовой инженерии.
Материал второго тома, посвященного "Теории" также состоит из четырех глав.
В основе всего изложения лежит концепция арбитража, которая помогает среди разнообразных моделей финансовых рынков выделить, прежде всего, те - "справедливо" устроенные, на которых отсутствуют арбитражные возможности.
Ключевым результатом пятой главы является "первая фундаментальная теорема теории расчетов финансовых активов" которая (с некоторыми оговорками) утверждает, что безарбитражный рынок - это такой рынок, для которого существует так называемая риск-нейтральная (или мартин-гальная) мера, относительно которой цены образуют мартингал.
С полными рынками, характеризуемыми тем, что на них возможно построение такого портфеля ценных бумаг, что его капитал будет (в заранее определенный момент времени в будущем) воспроизводить требуемое платежное поручение, связана "вторая фундаментальная теорема"
В соответствии с этой теоремой на без арбитражном рынке полнота имеет место тогда и только тогда, когда существует только одна мартингальная мера.
В расширенном варианте "второй фундаментальной теоремы" описывается также и структура цен в полных без арбитражных моделях финансовых рынков.
Теории расчетов в стохастических финансовых моделях с дискретным временем, основанной на первой и второй фундаментальных теоремах, посвящается шестая глава. Основным здесь является понятие хеджирования как метода динамического управления портфелем ценных бумаг. Выведенные формулы для цены (стоимости) хеджирования и изложенные методы отыскания оптимальных хеджирующих стратегий на полных и неполных рынках применяются к расчетам опционов Европейского и Американского типов.
Седьмая и восьмая главы относятся к случаю непрерывного времени. Излагаются результаты теории арбитража в стохастических финансовых моделях, описываемых с привлечением понятий семимартингалов и случайных мер, и приводятся различные версии аналогов первой и второй фундаментальных теорем. Следует при этом подчеркнуть, что соответствующее изложение (седьмая глава) является более сложным, по сравнению со случаем дискретного времени (пятая глава), и опирается на многие весьма глубокие результаты стохастического исчисления.
Последняя глава (восьмая) посвящена применению результатов теории арбитража для расчетов в финансовых моделях с непрерывным временем. При этом основное внимание уделяется расчетам разного рода опционов.
Изложение начинается с "Формулы Башелье" для рациональной стоимости стандартного опциона (покупателя) Европейского типа в линейной модели Башелье, явившейся прототипом известной "Формулы Блэка и Шоулса" для которой дается несколько выводов. Большой материал отводится расчетам опционов Американского типа как в диффузионных моделях акций, так и в диффузионных моделях облигаций.

---

Содержание книги

1. Финансовые структуры и инструменты

• § 1а. Ключевые объекты и структуры
• § 1b. Финансовый рынок
• § 1с. Рынок производных пенных бумаг. Финансовые инструменты

2. Финансовый рынок в условиях неопределенности. Классические теории динамики финансовых индексов, их критика и пересмотр. Неоклассические теории

• § 2а. Гипотеза случайного блуждания и концепция эффективного рынка
• § 2b. Портфель ценных бумаг. Диверсификация Марковитпа§ 2с. Модель ценообразования финансовых активов (САРМ - Capital Asset Pricing Model)
• § 2d. Арбитражная теория расчетов (APT - Arbitrage Pricing Theory)
• § 2e. Анализ, интерпретация и пересмотр классической концепции эффективно функционирующего рынка. I
• § 2f. Анализ, интерпретация и пересмотр классической концепции эффективно функционирующего рынка. II

3. Цели и задачи финансовой теории, инженерии и финансово-актуарных расчетов

• § 3а. Роль финансовой теории и финансовой инженерии. Финансовый риск 
• § 3b. Страховой бизнес как социальный механизм компенсации экономических потерь
• § 3с. Классический пример актуарных расчетов. Теорема Лундберга-Крамёра

1. Необходимые вероятностные понятия и некоторые модели динамики рыночных цен

• § 1а. Неопределенность и нерегулярность поведения цен, вероятностное их описание и представление
• § 1b. Разложение Дуба. Канонические представления
• § 1с. Локальные мартингалы, мартингальные преобразования, обобщенные мартингалы
• § 1d. Гауссовские и условно-гауссовские модели
• § 1е. Биномиальная моде ль эволюции цен
• § 1f. Модели с дискретным вмешательством случая

2. Линейные стохастические модели

• § 2а. Модель скользящего среднего MA(q)
• § 2b. Авторегрессионная модель AR(p)
• § 2с. Модель авторегрессии и скользящего среднего ARMA(p, q) и интегральная модель ARIMA(p, d,q)
• § 2d. Прогнозирование в линейных моделях

3. Нелинейные стохастические условно-гауссовские модели

• § 3а. Модели ARCH я GARCH
• § 3b. Модели EG ARCH, TGARCH, HARCH и др
• § 3с. Модели стохастической волатильности

4. Приложение: модели динамического хаоса

• § 4а. Нелинейные хаотические модели
• § 4b. Проблематика различимости "хаотических" и "стохастических" последовательностей

1. Негауссовские модели распределений и процессов

• § 1а. Устойчивые и безгранично делимые распределения
• § 1b. Процессы Леви
• § 1с. Устойчивые процессы
• § 1d. Гиперболические распределения и процессы

2. Модели со свойствами самоподобия (автомодельности). Фрактальность

• § 2а. Статистический феномен автомодельности Харста
• § 2Ь. Экскурс во фрактальную геометрию
• § 2с. Статистическая автомодельность. Фрактальное броуновское движение
• § 2d. Фрактальный гауссовский шум как процесс с сильным последействием

3. Модели, основанные на броуновском движении

• § За. Броуновское движение и его роль как базисного процесса
• § ЗЬ. Броуновское движение: сводка классических результатов
• § Зс. Стохастический интеграл по броуновскому движению
• § 3d. Процессы и формула Ито
• § Зе. Стохастические дифференциальные уравнения
• § 3f. Прямые и обратные уравнения Колмогорова. Вероятностное представление решений

4. Диффузионные модели эволюции процентных ставок, стоимостей акций и облигаций

• § 4а. Стохастические процентные ставки
• § 4Ь. Стандартная диффузионная модель стоимости акций (геометрическое броуновское движение) и ее обобщения
• § 4с. Диффузионные модели временной структуры стоимостей семейства облигаций

5. Семимартингальные модели

• § 5а. Семимартингалы и стохастические интегралы
• § 5Ь. Разложение Дуба-Мейёра. Компенсаторы. Квадратическая вариация
• § 5с. Формула Ито для семимартингалов. Некоторые обобщения

1. Эмпирические данные. Вероятностно-статистические модели их описания. Статистика "тиков"

• § 1а. Структурные изменения в сборе и анализе финансовых данных
• § 1b. О "географических" особенностях статистических данных обменных курсов
• § 1с. Описание эволюции финансовых индексов как стохастических процессов с дискретным вмешательством случая
• § 1d. К статистике "тиков"

2. Статистика одномерных распределений

• § 2а. Дискретизация статистических данных
• § 2Ь. Одномерные распределения логарифмов относительных изменений цен. I. Отклонение от гауссовости "Вытянутость" эмпирических плотностей
• § 2с. Одномерные распределения логарифмов относительных изменений цен. II. "Тяжелые хвосты" и их статистика
• § 2d. Одномерные распределения логарифмов относительных изменений цен. III. Структура распределений в центральной области

3. Статистика волатильности, корреляционной зависимости и последействия в ценах

• § 3а. Волатильность. Определение и примеры
• § 3b. Периодичность и фрактальная структура волатильности в обменных курсах
• § Зс. Корреляционные свойства
• § 3d. "Деволатилизация" Операционное время
• § 3е. Эффекты "кластерности" и последействия в ценах

4. Статистический R/S-анализ

• § 4а. Истоки и методология R/S-анализа
• § 4b. R/S-анализ некоторых финансовых временных рядов

1. Портфель ценных бумаг на (В, S)-рынке

• § 1а. Стратегии, удовлетворяющие балансовым условиям
• § 1b. Понятие о "хеджировании" Верхние и нижние цены. Полные и неполные рынки
• § 1с. Верхние и нижние цены в одношаговой модели
• § 1d. Пример полного рынка - CRR-модель

2. Рынок без арбитражных возможностей

• § 2а. Концепции "арбитраж" и "отсутствие арбитража"
• § 2b. Мартингальный критерий отсутствия арбитражных возможностей. I. Формулировка первой фундаментальной теоремы
• § 2с. Мартингальный критерий отсутствия арбитражных возможностей. П. Доказательство достаточности
• § 2d. Мартингальный критерий отсутствия арбитражных возможностей. III. Доказательство необходимости (с использованием условного преобразования Эшера)
• § 2е. Расширенный вариант первой фундаментальной теоремы

3. Конструкция мартингальных мер с помощью абсолютно непрерывной замены меры

• § 3а. Основные определения. Процесс плотности
• § 3b. Дискретный вариант теоремы Гирсанова. I. Условно-гауссовский случай
• § 3с. Мартингальность цен в случае условно-гауссовского и логарифмически условно-гауссовского распределений
• § 3d. Дискретный вариант теоремы Гирсанова. II. Общий случай
• § 3е. Целочисленные случайные меры и их компенсаторы. Преобразование компенсаторов при абсолютно непрерывной замене меры. Стохастические интегралы
• § 3f. Предсказуемые критерии отсутствия арбитражных возможностей на (В, S)-рынке

4. Полные и совершенные безарбитражные рынки

• § 4а. Мартингальный критерий полноты рынка. I. Формулировка второй фундаментальной теоремы. Доказательство необходимости
• § 4b. О представимости локальных мартингалов. I. ("S-представимость")
• § 4с. О представимости локальных мартингалов. II. ("µ-представимость","(µ—v)-представимость")
• § 4d. "5-представимость" в биномиальной CRR-модели
• § 4е. Мартингальный критерий полноты рынка. II. Доказательство достаточности в случае d= 1
• § 4f. Расширенный вариант второй фундаментальной теоремы

1. Расчеты, связанные с хеджированием Европейского типа на безарбитражньгх рынках

• § 1а. Риск и методы его редуцирования
• § 1b. Основная формула для цены хеджирования. I. Полные рынки
• § 1с. Основная формула для цены хеджирования. II. Неполные рынки
• § 1d. О расчетах цены хеджирования при среднеквадратичном критерии
• § 1е. Форвардные и фьючерсные контракты

2. Расчеты, связанные с хеджированием Американского типа на безарбитражных рынках

• § 2а. Задачи об оптимальной остановке. Супермартингальная характеризация
• § 2Ь. Полные и неполные рынки. I. Супермартингальная характеризация цены хеджирования
• § 2с. Полные и неполные рынки. II. Основные формулы для цен хеджирования
• § 2d. Опциональное разложение

3. Схема серий "больших" безарбитражных рынков и асимптотический арбитраж

• § 3а. Модель "больших" финансовых рынков
• § 3b. Критерии отсутствия асимптотического арбитража
• § 3с. Асимптотический арбитраж и контигуальность
• § 3d. Некоторые аспекты аппроксимации и сходимости в схеме серий безарбитражных рынков

4. Опционы Европейского типа на биномиальном (В, S)-рынке

• § 4а. О проблематике расчетов опционных контрактов
• § 4b. Расчет рациональной стоимости и хеджирующих стратегий. I. Случай общих платежных функций
• § 4с. Расчет рациональной стоимости и хеджирующих стратегий. II. Случай марковских платежных функций
• § 4d. Стандартные опционы покупателя и продавца
• § 4е. Стратегии, основанные на опционах (комбинации, спрэды, сочетания)

5. Опционы Американского типа на биномиальном (В, S)-рынке

• § 5а. О проблематике расчетов опционов Американского типа
• § 5b. Расчеты для стандартного опциона покупателя
• § 5с. Расчеты для стандартного опциона продавца
• § 5d. Опционы с последействием. Расчеты в "Русском опционе"

1. Портфель ценных бумаг в семимартингальных моделях

• § 1а. Допустимые стратегии. I. Самофинансируемость. Векторный стохастический интеграл
• § 1b. Дисконтирующие процессы
• § 1с. Допустимые стратегии. II. Некоторые специальные классы

2. Семимартингальные модели без арбитражных возможностей. Полнота

• § 2а. Концепция отсутствия арбитража и ее разновидности
• § 2b. Мартингальные критерии отсутствия арбитражных возможностей. I. Достаточные условия
• § 2с. Мартингальные критерии отсутствия арбитражных возможностей. II. Необходимые и достаточные условия (сводка некоторых результатов)
• § 2d. Полнота в семимартингальных моделях

3. Семимартингалы и мартингальные меры

• § 3а. Каноническое представление семимартингалов. Случайные меры. Триплеты предсказуемых характеристик.
• § 3b. Конструкция мартингальных мер в диффузионных моделях. Теорема Гирсанова
• § 3с. Конструкция мартингальных мер в случае процессов Леви. Преобразование Эшера
• § 3d. Предсказуемые критерии мартингальности цен. I
• § 3е. Предсказуемые критерии мартингальности цен. II
• § 3f. О представимости локальных мартингалов
• § 3g. Теорема Гирсанова для семимартингалов. Структура плотностей вероятностных мер

4. Арбитраж, полнота и расчеты цены хеджирования в диффузионных моделях акций

• § 4а. Арбитраж и условия его отсутствия. Полнота
• § 4b. Цена хеджирования на полных рынках
• § 4с. Фундаментальное уравнение в частных производных для цены хеджирования

5. Арбитраж, полнота и расчеты цены хеджирования в диффузионных моделях облигаций

• § 5а. Модели без арбитражных возможностей
• § 5b. Полнота
• § 5с. Фундаментальное уравнение в частных производных временной структуры цен облигаций

1. Опционы Европейского типа на диффузионных (В, S)-рынках акций

• § 1а. Формула Башелье
• § 1b. Формула Блэка и Шоулса. I. Мартингальный вывод
• § 1с. Формула Блэка и Шоулса. II. Вывод, основанный на решении фундаментального уравнения
• § Id. Формула Блэка и Шоулса. III. Модель с дивидендами

2. Опционы Американского типа на диффузионных (В, S)-рынках акций. Случай бесконечного временного горизонта

• § 2а. Стандартный опцион покупателя
• § 2b. Стандартный опцион продавца
• § 2с. Комбинации опционов покупателя и продавца
• § 2d. Русский опцион

3. Опционы Американского типа на диффузионных (В, S)-рынках акций. Случай конечного временнбго горизонта

• § 3а. Об особенностях расчетов на конечных временных интервалах
• § 3b. Задачи об оптимальной остановке и задача Стефана
• § 3с. Задача Стефана для стандартных опционов покупателя и продавца
• § 3d. О связи стоимостей опционов Европейского и Американского типа

4. Опционы Европейского типа и Американского типа на диффузионном (B, Р)-рынке облигаций

• § 4а. О проблематике расчетов опционов на рынке облигаций
• § 4b. О расчетах опционов Европейского типа в однофакторных гауссовских моделях
• § 4с. О расчетах опционов Американского типа в однофакторных гауссовских моделях

Литература

---